O que é, na verdade, um “Hertz” e por que duas fontes apresentam informações divergentes

Os valores de frequência são constantemente divulgados, mas quase nunca medidos. Antes de qualquer discussão sobre se um valor específico tem algum efeito, vale a pena esclarecer exatamente o que esse valor representa, pois uma quantidade surpreendente de confusão surge porque as pessoas usam “528 Hz” como um nome, em vez de como uma quantidade.

Um hertz equivale a um ciclo por segundo. Essa é a definição completa. A unidade do SI leva o nome de Heinrich Hertz e significa exatamente isso: algo que ocorre, na íntegra, esse número de vezes a cada segundo. Um tom de 528 Hz corresponde à pressão do ar subindo e voltando ao nível inicial 528 vezes em um segundo.

Construindo um, para que haja algo para medir

Você não precisa de um sintetizador para isso. Um tom puro é uma onda senoidal, e uma onda senoidal é composta por três linhas:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

O 2 * np.pi está presente porque um ciclo completo de uma função seno tem 2π radianos. Ao multiplicar por 528, 528 desses ciclos cabem em cada segundo de t. Todo o restante na síntese de áudio é uma elaboração a partir desse princípio.

Primeiro critério: passagens por zero

Se uma onda completa 528 ciclos por segundo, ela passa pelo ponto zero ao subir 528 vezes por segundo. Então, conte-os:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Em quatro segundos, isso resulta em 527,88 ciclos por segundo, e não 528.

A segunda etapa: a FFT

A outra abordagem analisa o sinal inteiro de uma só vez e procura determinar de quais frequências ele é composto. Uma transformada de Fourier decompõe a onda em componentes, e o componente mais forte é a resposta:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Isso retorna 528,00 Hz.

Por que eles discordam

Dois métodos confiáveis, o mesmo sinal, respostas diferentes no último dígito. A tentação é concluir que um deles está com defeito. Nenhum dos dois está.

A contagem de passagens por zero é menor porque a janela de quatro segundos não contém um número inteiro de ciclos. A 528 Hz, quatro segundos abrigam 2.112 ciclos completos e, em seguida, um fragmento. O contador não consegue contar um fragmento, então ele o descarta, e a média fica ligeiramente baixa. Isso não é específico para 528: ocorre em qualquer frequência cuja duração do ciclo não seja divisível exatamente pela janela. Ao aumentar a janela, o erro diminui, pois um fragmento descartado representa uma parcela menor de um total maior.

A FFT parece exata neste caso, e vale a pena suspeitar disso. Sua resolução também é definida pela janela: quatro segundos de áudio resultam em intervalos de frequência separados por 0,25 Hz. A frequência de 528 se encaixa perfeitamente em um intervalo. Um tom de 528,1 Hz seria registrado no intervalo mais próximo, e a FFT pareceria igualmente segura quanto à resposta errada.

A conclusão útil não é que um método seja superior aos outros. É que cada medição reflete a forma da janela em que foi realizada, e um número citado sem indicar o método utilizado está incompleto. É por isso que as publicações neste canal apresentam, juntamente com o valor, a forma como ele foi obtido.

Duas coisas que se seguem

Uma frequência que você não consegue ouvir ainda assim é reproduzida. Escreva as mesmas três linhas substituindo 528 por 1, e o arquivo não ficará em silêncio. Ele contém uma onda de amplitude total que completa um ciclo por segundo. A audição humana abrange aproximadamente de 20 Hz a 20 kHz; portanto, 1 Hz não produz nenhum tom. “Inaudível” e “não existe” são afirmações diferentes, e essa diferença explica por que um diferencial binaural de 4 Hz pode existir em um arquivo sem que você jamais ouça 4 Hz: ele existe como a diferença entre dois tons audíveis, não como um tom em si.

Duplicar parece ser um único passo, não dois. 528 Hz e 1056 Hz estão separados por uma oitava, e de 1056 a 2112 é outra oitava, embora o segundo salto acrescente o dobro de hertz. A percepção da altura do som é aproximadamente logarítmica, e é por isso que os intervalos musicais são razões, e não diferenças. É também por isso que um centroide espectral de 590 Hz e outro de 438 Hz estão mais distantes um do outro do que a subtração simples sugere.

O que importa nas alegações relativas à frequência

A440 é a referência contra a qual toda afirmação do tipo “afinado a X Hz” é medida, e trata-se de um acordo, e não de uma constante da natureza. Uma conferência internacional realizada em Londres estabeleceu o valor de 440 Hz em 1939. Antes disso, a França havia legislado 435 Hz em 1859, e o tom de concerto variava de cidade para cidade e de século para século. Hoje, Berlim e Viena tocam em torno de 443, e Nova York, em torno de 442, porque os músicos preferem o som mais brilhante.

Isso não prova nada sobre se uma determinada frequência tem algum efeito. Isso desmonta uma outra parte da história: aquela que afirma que uma afinação pertence à natureza e as outras são desvios em relação a ela. Todas são convenções. O que resta saber é se uma frequência específica produz um efeito específico, o que é uma questão empírica, respondida estudo por estudo e abordada com honestidade em outras partes desta revista.

O objetivo de contar um tom de duas maneiras não é o valor de 0,12 Hz. É que um número que você não mediu é apenas um rótulo, e a medição tem três linhas de comprimento.

Referências

O conteúdo aqui trata-se de processamento de sinais em termos conceituais, e não de evidências clínicas: a definição do hertz segundo a SI e o comportamento padrão das transformadas de Fourier discretas e da aplicação de janelas, implementadas com numpy. Histórico da afinação de concertos: o diapason normal francês de 1859 (435 Hz) e o padrão da conferência de Londres de 1939 (440 Hz).

Conteúdo educativo sobre processamento de sinais de áudio. Não se trata de orientação médica.