Vad en Hertz egentligen är, och varför två räknesätt skiljer sig åt

Frekvensvärden säljs hela tiden, men mäts nästan aldrig. Innan man ens börjar diskutera om ett visst värde har någon effekt är det värt att klargöra exakt vad värdet egentligen är, eftersom en förvånansvärt stor del av förvirringen längre fram i kedjan beror på att folk använder ”528 Hz” som en benämning snarare än som ett mått.

En hertz är en cykel per sekund. Det är hela definitionen. SI-enheten är uppkallad efter Heinrich Hertz och betyder precis det: något som inträffar, fullständigt, så många gånger varje sekund. En ton på 528 Hz innebär att lufttrycket stiger och sjunker tillbaka till utgångsläget 528 gånger på en sekund.

Jag bygger en, så att det finns något att mäta

Du behöver ingen synthesizer för detta. En ren ton är en sinusvåg, och en sinusvåg består av tre linjer:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

2 * np.pi finns med eftersom en fullständig sinuscykel är 2π radianer. Genom att multiplicera med 528 ryms 528 sådana cykler i varje sekund av t. Allt annat inom ljudsyntes bygger vidare på detta.

Den första räkningen: nollgenomgångar

Om en våg genomgår 528 cykler per sekund passerar den nollpunkten uppåt 528 gånger per sekund. Räkna dem alltså:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Under fyra sekunder ger detta 527,88 cykler per sekund, inte 528.

Den andra punkten: FFT

Den andra metoden läser av hela signalen på en gång och undersöker vilka frekvenser den består av. En Fourier-transform delar upp vågen i olika komponenter, och den starkaste av dessa är svaret:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Detta ger 528,00 Hz.

Varför de är oense

Två tillförlitliga metoder, samma signal, olika resultat i den sista siffran. Det är frestande att dra slutsatsen att en av dem är felaktig. Men ingen av dem är det.

Antalet nollgenomgångar blir lågt eftersom fönstret på fyra sekunder inte rymmer ett heltal cykler. Vid 528 Hz rymmer fyra sekunder 2112 hela cykler och därefter en delcykel. Räknaren kan inte räkna ett fragment, så den utelämnar det, vilket gör att medelvärdet blir något för lågt. Detta gäller inte enbart 528: det inträffar vid alla frekvenser där cykellängden inte går jämnt att dela med fönstret. Förlänger man fönstret minskar felet, eftersom ett utelämnat fragment utgör en mindre andel av en större helhet.

FFT-analysen ser exakt ut här, och det är värt att vara misstänksam mot det. Dess upplösning bestäms också av fönstret: fyra sekunders ljud ger frekvensfack med ett avstånd på 0,25 Hz mellan varandra. 528 hamnar pricksäkert i ett fack. En ton på 528,1 Hz skulle rapporteras i det frekvensfack som ligger närmast, och FFT-kurvan skulle se lika säker ut när det gäller det felaktiga svaret.

Den viktiga slutsatsen är inte att en metod är bättre än en annan. Den är att varje mätning präglas av det mätfönster inom vilket den utfördes, och att ett tal som anges utan att metoden anges saknar hälften av sitt värde. Det är därför som inläggen på den här kanalen alltid redogör för hur en siffra har framtagits, tillsammans med själva siffran.

Två saker som följer

En frekvens som du inte kan höra spelas ändå upp. Skriv samma tre rader med 1 istället för 528, så är filen inte tyst. Den innehåller en våg med full amplitud som fullbordar en cykel per sekund. Det mänskliga hörselområdet sträcker sig ungefär från 20 Hz till 20 kHz, så 1 Hz ger ingen tonhöjd alls. ”Ohörbar” och ”inte där” är olika påståenden, och skillnaden är anledningen till att en binaural skillnad på 4 Hz kan finnas i en fil utan att du någonsin hör 4 Hz: den existerar som skillnaden mellan två hörbara toner, inte som en ton i sig.

Att fördubbla frekvensen låter som ett steg, inte två. 528 Hz och 1056 Hz ligger en oktav ifrån varandra, och från 1056 till 2112 är det ytterligare en oktav, även om det andra steget innebär en fördubbling av hertz. Tonhöjdsuppfattningen är ungefär logaritmisk, vilket är anledningen till att musikaliska intervall är förhållanden snarare än skillnader. Det är också anledningen till att ett spektralt tyngdpunkt på 590 Hz och ett på 438 Hz ligger längre ifrån varandra än vad den rena subtraktionen antyder.

Den del som är avgörande för påståenden om frekvens

A440 är den referenspunkt mot vilken alla påståenden om att något är ”stämt till X Hz” mäts, och det är snarare en överenskommelse än en naturkonstant. Vid en internationell konferens i London fastställdes 440 Hz som standard år 1939. Innan dess hade Frankrike år 1859 lagstiftat om 435 Hz, och konserttonhöjden varierade mellan olika städer och genom århundradena. Idag spelar man i Berlin och Wien nära 443 och i New York nära 442, eftersom musikerna föredrar det ljusare ljudet.

Det bevisar ingenting om huruvida en viss frekvens har någon effekt. Det motbevisar en annan del av berättelsen: den del som hävdar att en viss stämning hör till naturen och att de andra är avvikelser från den. De är alla överensstämmelser. Det som återstår är frågan om en specifik frekvens har en specifik effekt, vilket är en empirisk fråga som besvaras i varje enskild studie och som besvaras ärligt på andra ställen i denna tidskrift.

Poängen med att räkna en ton på två olika sätt är inte de 0,12 Hz. Det handlar om att ett värde som man inte har mätt själv bara är en beteckning, och att mätningen sträcker sig över tre rader.

Källor

Innehållet här handlar om grundläggande signalbehandling snarare än kliniska rön: SI-definitionen av hertz samt standardbeteendet hos diskreta Fourier-transformer och fönsterfunktioner, implementerade med numpy. Historik över konserttonhöjden: den franska diapason normal från 1859 (435 Hz) och standarden från Londonkonferensen 1939 (440 Hz).

Utbildningsmaterial om ljudsignalbehandling. Detta utgör inte medicinsk rådgivning.