Samma not, annorlunda klang: Den mätning jag gjorde fel från början

Spela upp en sinusvåg och en fyrkantvåg med samma frekvens, så är det ingen som blandar ihop dem. Den ena är mjuk, den andra är skarp. Men om man frågar ett instrument vilken ton som spelas, ger det samma svar båda gångerna.

Just den avvikelsen är själva kärnan i ämnet. Den ledde mig också till ett värde som, enligt teorin, inte borde ha funnits där alls – och min första mätning av det värdet var felaktig, på ett sätt som är värt att lyfta fram snarare än att bara tyst rätta till.

Noten är inte själva ljudet

Skapa tre vågformer vid 528 Hz i Python – en sinusvåg, en fyrkantvåg och en triangulärvåg – och kör en FFT på var och en av dem. Alla tre visar en grundfrekvens på 528,00 Hz. Tonmässigt är de identiska.

Det som skiljer sig åt är allt som ligger ovanför grundtonen. En repeterande våg kan beskrivas som en stapling av vanliga sinusvågor vid heltaliga multiplar av grundtonen. Dessa multiplar kallas övertoner, och vilka av dem som finns närvarande – och på vilken nivå – är det som ditt öra uppfattar som klangfärg.

För en fyrkantvåg gäller en gammal och specifik regel: endast de udda multiplarna kvarstår, och var och en av dem har en amplitud som motsvarar en bråkdel av grundfrekvensens amplitud, lika med ett dividerat med dess eget tal. En tredjedel av amplituden vid den tredje övertonen. En femtedel vid den femte.

Uppmätt utifrån min egen fil:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Regeln gäller ända ner till decimalen. Det är den enkla delen.

Det tal som borde ha varit noll

Enligt samma regel ska de jämna övertonerna saknas helt. Inte bara i liten utsträckning. De ska helt enkelt inte finnas där.

De finns där. Den andra övertonen ligger 75,9 dB under grundtonen – ungefär en sjättusendel. Mycket liten, ohörbar, men inte noll. Enligt teorin borde den vara noll.

Den uppenbara misstänkte är mätinstrumentet. Så är dock inte fallet: om man utför samma mätning på en ren sinusvåg visar samma mätintervall ett värde som är 238 dB lägre, vilket inte är något annat än det aritmetiska bruset från siffrorna själva. Instrumentet kan upptäcka betydligt mindre avvikelser än så.

Det rätta svaret är att den samplade fyrkantsvågen inte alls upprepas med en frekvens på 528 Hz.

Beräkna den största gemensamma delaren mellan frekvensen och samplingsfrekvensen: gcd(528, 44100) = 12. Samplingsmönstret återkommer endast tolv gånger per sekund, så det som transformeringen ser är inte en ren harmonisk serie utan en kam med en linje var 12 Hz. Några av dessa kamlinjer hamnar nära där en harmonisk skulle finnas, och en av dem är den som dyker upp i det jämna binet.

Var jag gjorde fel

Det här är den del som videon ägnar ordentligt med tid åt, eftersom det är just den delen som de flesta kanaler skulle klippa bort.

Min första mätning av den jämna övertonen gav värdet −67,3 dB, och jag skrev ner det som svaret.

Det var inte svaret. Jag hade letat efter toppen inom ett fönster som var ungefär ±14 Hz brett runt den förväntade frekvensen, med tanken att en liten tolerans skulle vara tillräcklig. Men kamlinjerna ligger 12 Hz från varandra. Ett så brett fönster innehåller garanterat en intilliggande kamlinje, och den linjen var starkare än den överton jag egentligen var ute efter. Mätningen rapporterade plikttroget det starkaste i fönstret och jag misstog det för det jag frågade om.

Det korrekta värdet, avläst vid just den frekvensen istället för det högsta ljudet i närheten, är −75,9 dB. Åtta och en halv decibel tystare än vad jag först publicerade för mig själv.

Lärdomen som kan dras av det här dokumentet är: ett toleransintervall är inte obegränsat. Om man utvidgar det för säkerhets skull ökar risken att mätningen ger svar på en annan fråga än den man ställde. Om du ska ta med dig en praktisk lärdom från den här artikeln, låt det vara just den.

När jag öppnade fönstret lite mer upptäckte jag något ännu värre

När jag slutade lita på den snäva tolkningen och istället betraktade hela spektrumet, framträdde en större artefakt, och den har ingenting med kamlinjerna att göra.

En fyrkantvåg har oändligt många övertoner. Allt som ligger över halva samplingsfrekvensen kan inte återges och viks tillbaka in i det hörbara frekvensområdet. Vid en högre ton kan man höra det utan någon analys alls: skapa en fyrkantvåg vid 3000 Hz så finns det en låg ton under den som inte ingår i tonen. Det är den femtonde övertonen, vid 45 kHz, som viks tillbaka till 900 Hz — två oktaver under det som spelas.

Vid 528 Hz ligger den starkaste veckningen på −33 dB. Det är fyrtio decibel över den jämnharmoniska artefakten som jag hade letat efter. Det jag kallade för artefakt var alltså inte den största.

Två tester bekräftar att det rör sig om vikning och inte något annat:

Om man fördubblar samplingsfrekvensen sjunker nivåerna med sex decibel varje gång. −33, −39, −45, −51. Det är ingen slump: den första övertonen som inte längre ryms fördubblar sitt värde, och en överton som är dubbelt så hög är sex decibel tystare enligt samma regel ”ett över n”.

Skapa samma form med sinusvågor som alla får plats — inga oändliga serier, inga kanter som kan orsaka aliasing — och nivån sjunker till 236 dB lägre, tillbaka till aritmetiskt brus.

Tre saker som klangfärg inte är

Inte tonen. Alla tre formerna har frekvensen 528,00 Hz. Frågar man instrumentet vad det spelar, svarar det samma sak tre gånger.

Inte ljudstyrka. När de är uppbyggda med samma toppvärde innehåller fyrkantsvågen ungefär 3 dB mer energi än sinusvågen. Det stämmer, men det handlar om en skillnad i toppfaktor – hur tätt samma energi är packad mot toppen – och inte om ett bevis för att övertoner bidrar till ljudstyrkan. Jämför istället de två utifrån energin, så ligger den fyrkantiga vågens egen grundton cirka 1 dB under sinusvågens: samma energi, fördelad över fler steg.

Det handlar inte om kvalitet. Ingen av formerna här är rikare, renare eller bättre för dig. Det vi mätte är en energifördelning över en tonstig – sex siffror för kvadraten, sex olika siffror för triangeln, samma ton under båda. Det är en fullständig beskrivning av en jämn ton, och det är hela det påstående som fysiken stöder. Ett riktigt instrument förändras också medan det spelas, vilket är en separat fråga.

Prova det och läs den exakta bin-filen

Fyra linjer. Skapa en fyrkantvåg på 528 Hz med 44 100 samplingspunkter per sekund, beräkna dess FFT och läs av nivån vid tre gånger grundfrekvensen och sedan vid två gånger grundfrekvensen.

Läs av just den bin, inte det som låter högst i närheten, annars kommer du att göra samma misstag som jag. Du bör se −9,5 dB vid den udda och ungefär 76 dB lägre vid den jämna.

Ändra sedan frekvensen och kör programmet igen. Värdet −9,5 kommer inte att förändras, oavsett om frekvensen ligger mellan 100 Hz och 1000 Hz, eftersom det är en lag. Det jämna talet kommer att flytta sig, och du kan förutsäga vart innan du kör programmet: ta det största gemensamma delaren mellan din frekvens och 44 100, och det är avståndet mellan alla punkter som samplingsrutnätet lägger till.

Båda korrigeringarna ovan finns med i den publicerade versionen av videon. Att publicera fel siffra tillsammans med den rätta är inte en fråga om blygsamhet; det är det enda sättet på vilket ett mätvärde kan kontrolleras av någon annan än den som har angett det.

Källor

Innehållet här handlar om grundläggande signalbehandling snarare än kliniska rön: den diskreta Fourier-transformeringen och dess bin-rutnät (numpy.fft), spektralläckage och fönsterupplösning, Nyquist-gränsen och aliasing, samt Fourier-serien för en fyrkantvåg med dess amplituder för udda övertoner (1/n). Implementerat med numpy; mätskriptet och dess utdata visas på skärmen i den tillhörande videon.

Utbildningsmaterial om ljudsignalbehandling. Detta är inte medicinsk rådgivning.