Ce este de fapt un „Hertz” și de ce există două opinii diferite

Valorile frecvențelor sunt promovate în mod constant, dar aproape niciodată măsurate. Înainte de a discuta dacă o anumită frecvență are vreun efect, merită să fim preciși în privința a ceea ce reprezintă de fapt acea valoare, deoarece o mare parte din confuzia ulterioară provine din faptul că oamenii folosesc „528 Hz” ca denumire, nu ca valoare numerică.

Un hertz reprezintă un ciclu pe secundă. Aceasta este definiția completă. Unitatea SI poartă numele lui Heinrich Hertz și înseamnă exact asta: un fenomen care se repetă, în întregime, de atâtea ori pe secundă. Un sunet de 528 Hz reprezintă creșterea și scăderea presiunii aerului până la nivelul inițial de 528 de ori într-o secundă.

Construiesc unul, ca să am ceva de măsurat

Nu ai nevoie de un sintetizator pentru asta. Un ton pur este o undă sinusoidală, iar o undă sinusoidală este formată din trei linii:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Expresia 2 * np.pi este prezentă deoarece un ciclu complet al unei funcții sinusoidale are 2π radiani. Înmulțind cu 528, se obține un număr de 528 de astfel de cicluri care se încadrează în fiecare secundă a lui t. Tot restul din domeniul sintezei audio reprezintă o dezvoltare a acestui principiu.

Primul criteriu: trecerile prin zero

Dacă un val parcurge 528 de cicluri pe secundă, acesta trece prin punctul zero în sens ascendent de 528 de ori pe secundă. Așadar, numărați-le:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Pe o perioadă de patru secunde, aceasta returnează 527,88 cicluri pe secundă, nu 528.

Al doilea punct: FFT

Cealaltă abordare citește întregul semnal dintr-o singură dată și încearcă să determine din ce frecvențe este alcătuit. O transformată Fourier descompune unda în componente, iar cea mai puternică dintre ele reprezintă răspunsul:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Rezultatul este 528,00 Hz.

De ce nu sunt de acord

Două metode corecte, același semnal, răspunsuri diferite la ultima cifră. Tentația este să concluzionăm că una dintre ele nu funcționează corect. Niciuna nu are vreo problemă.

Numărul de treceri prin zero este redus deoarece fereastra de patru secunde nu conține un număr întreg de cicluri. La 528 Hz, patru secunde cuprind 2112 cicluri complete și apoi un fragment. Contorul nu poate număra un fragment, așa că îl omite, iar media rezultată este ușor mai mică. Acest fenomen nu este specific frecvenței de 528: se întâmplă la orice frecvență a cărei durată a ciclului nu se împarte egal în intervalul de timp. Dacă se mărește intervalul de timp, eroarea se reduce, deoarece un fragment omis reprezintă o proporție mai mică dintr-un total mai mare.

FFT-ul pare exact în acest caz, iar acest lucru ar trebui să ne trezească suspiciuni. Rezoluția sa este determinată și de fereastră: patru secunde de înregistrare audio generează intervale de frecvență distanțate între ele cu 0,25 Hz. Valoarea de 528 se încadrează perfect într-un interval. Un ton de 528,1 Hz ar fi înregistrat în binul cel mai apropiat, iar FFT-ul ar părea la fel de sigur de răspunsul greșit.

Concluzia utilă nu este că o anumită metodă este superioară. Ci că fiecare măsurătoare poartă amprenta ferestrei în care a fost efectuată, iar o valoare prezentată fără a se menționa metoda folosită este incompletă. De aceea, în postările de pe acest canal se precizează, alături de cifră, modul în care a fost obținută aceasta.

Două lucruri care decurg din aceasta

O frecvență pe care nu o poți auzi se aude totuși. Dacă scrii aceleași trei linii folosind 1 în loc de 528, fișierul nu va fi silențios. Acesta conține o undă cu amplitudine maximă care parcurge un ciclu pe secundă. Auzul uman acoperă o gamă de aproximativ 20 Hz până la 20 kHz, așa că 1 Hz nu produce nicio înălțime sonoră. „Inaudibil” și „inexistent” sunt afirmații diferite, iar această diferență explică de ce poate exista o diferență binaurală de 4 Hz într-un fișier fără ca tu să auzi vreodată 4 Hz: ea există ca diferență între două tonuri audibile, nu ca un ton în sine.

Dublarea pare a fi un singur pas, nu două. 528 Hz și 1056 Hz sunt la o octavă distanță, iar de la 1056 la 2112 este o altă octavă, chiar dacă al doilea salt adaugă de două ori mai mulți hertzi. Percepția înălțimii tonale este aproximativ logaritmică, motiv pentru care intervalele muzicale sunt raporturi, mai degrabă decât diferențe. De asemenea, acesta este motivul pentru care un centroid spectral de 590 Hz și unul de 438 Hz sunt mai îndepărtați unul de celălalt decât sugerează scăderea brută.

Aspectul relevant pentru afirmațiile privind frecvența

A440 este valoarea de referință în raport cu care se măsoară orice afirmație de genul „acordat la X Hz” și reprezintă mai degrabă un acord decât o constantă a naturii. O conferință internațională desfășurată la Londra a stabilit frecvența de 440 Hz în 1939. Înainte de aceasta, Franța stabilise prin lege frecvența de 435 Hz în 1859, iar tonul de concert varia de la un oraș la altul și de la un secol la altul. Astăzi, la Berlin și Viena se cântă la o frecvență de aproximativ 443 Hz, iar la New York la aproximativ 442 Hz, deoarece muzicienii preferă un sunet mai strălucitor.

Acest lucru nu dovedește nimic în privința faptului că o anumită frecvență ar avea vreun efect. Dimpotrivă, demolează o altă jumătate a poveștii: acea jumătate care susține că o singură acordare aparține naturii, iar celelalte reprezintă abateri de la aceasta. Toate sunt acorduri. Rămâne de văzut dacă o frecvență specifică produce un efect specific, ceea ce reprezintă o întrebare empirică, la care se răspunde studiu cu studiu și la care s-a răspuns sincer în alte articole din această revistă.

Scopul numărării unui ton în două moduri nu este frecvența de 0,12 Hz. Ci faptul că o valoare pe care nu ai măsurat-o rămâne doar o etichetă, iar procesul de măsurare se întinde pe trei linii.

Referințe

Conținutul prezentat aici se referă mai degrabă la noțiuni fundamentale de procesare a semnalelor decât la dovezi clinice: definiția SI a hertzului, precum și comportamentul standard al transformatelor Fourier discrete și al tehnicii de ferestre, implementate cu numpy. Istoria înălțimii tonale a concertelor: diapasonul normal francez din 1859 (435 Hz) și standardul stabilit la conferința de la Londra din 1939 (440 Hz).

Conținut educațional despre procesarea semnalului audio. Nu constituie sfaturi medicale.