Dezelfde noot, ander geluid: de meting die ik aanvankelijk verkeerd had uitgevoerd

Speel een sinusgolf en een blokgolf af met dezelfde frequentie, en niemand haalt ze door elkaar. De ene klinkt zacht, de andere scherp. Maar als je aan een instrument vraagt welke noot er wordt gespeeld, geeft het beide keren hetzelfde antwoord.

Die afwijking is precies waar het om draait. Het bracht me ook bij een getal dat er volgens de theorie helemaal niet had mogen zijn — en mijn eerste meting van dat getal was fout, op een manier die het waard is om te laten zien in plaats van stilletjes te corrigeren.

De noot is niet hetzelfde als de klank

Maak in Python drie signaalvormen bij 528 Hz — een sinus, een blokgolf en een driehoek — en voer op elk daarvan een FFT uit. Alle drie geven een grondfrequentie van 528,00 Hz aan. Qua toonhoogte zijn ze identiek.

Wat verschilt, is alles wat boven de grondtoon ligt. Een zich herhalende golf kan worden weergegeven als een opeenstapeling van gewone sinusgolven op gehele veelvouden van die grondtoon. Die veelvouden zijn harmonischen, en welke daarvan aanwezig zijn, en op welk niveau, is wat je oor waarneemt als klankkleur.

Voor een blokgolf geldt een oude en specifieke regel: alleen de oneven harmonischen blijven over, en elk daarvan heeft een amplitude die gelijk is aan een fractie van de amplitude van de grondtoon, namelijk één gedeeld door het eigen getal. Een derde van de amplitude bij de derde harmonische. Een vijfde bij de vijfde.

Gemeten aan de hand van mijn eigen bestand:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

De regel geldt tot op de decimaal nauwkeurig. Dat is het makkelijke deel.

Het getal dat nul had moeten zijn

Volgens diezelfde regel zouden de even harmonischen helemaal moeten ontbreken. Niet in geringe mate. Ze moeten volledig afwezig zijn.

Ze zijn niet afwezig. De tweede harmonische ligt 75,9 dB onder de grondtoon — ongeveer één op de zesduizend. Miniem, onhoorbaar, en niet nul. Volgens de theorie zou het nul moeten zijn.

De voor de hand liggende verdachte is het meetinstrument. Dat is het echter niet: als je dezelfde meting uitvoert op een zuivere sinusgolf, geeft hetzelfde meetbereik een waarde van 238 dB lager aan, wat niets anders is dan de rekenkundige ruis van de getallen zelf. Het instrument kan veel kleinere verschillen waarnemen dan dit.

Het echte antwoord is dat de bemonsterde blokgolf zich helemaal niet met een frequentie van 528 Hz herhaalt.

Bereken het grootste gemeenschappelijke deler van de frequentie en de bemonsteringsfrequentie: gcd(528, 44100) = 12. Het patroon van de samples herhaalt zich slechts twaalf keer per seconde, dus wat de transformatie waarneemt is geen zuivere harmonische reeks, maar een kam met een lijn om de 12 Hz. Sommige van die kamlijnen vallen in de buurt van waar een harmonische zou zitten, en één daarvan is wat in de even bin verschijnt.

Waar ik de fout in ben gegaan

Dit is het gedeelte waar de video echt de tijd voor neemt, omdat het het gedeelte is dat de meeste kanalen zouden wegknippen.

Mijn eerste meting van die even harmonische leverde −67,3 dB op, en ik heb dat als antwoord genoteerd.

Dat was niet het antwoord. Ik had naar de piek gezocht binnen een venster met een breedte van ongeveer ±14 Hz rond de verwachte frequentie, in de veronderstelling dat een kleine tolerantie wel te vergeven zou zijn. Maar de kamlijnen liggen 12 Hz uit elkaar. Een venster dat zo breed is, bevat gegarandeerd een aangrenzende kamlijn, en die lijn was luider dan de harmonische waarop ik eigenlijk mikte. De meting rapporteerde plichtsgetrouw het luidste signaal in het venster en ik zag dat ten onrechte aan voor het signaal waarnaar ik op zoek was.

De juiste waarde, gemeten bij het exacte meetpunt in plaats van bij het luidste geluid in de buurt, is −75,9 dB. Dat is acht en een halve decibel stiller dan wat ik aanvankelijk voor mezelf had gepubliceerd.

De les die hieruit kan worden getrokken, reikt verder dan dit bestand: een tolerantievenster is niet willekeurig. Als je het uit voorzorg verbreedt, is de kans groter dat de meting een antwoord geeft op een andere vraag dan degene die je hebt gesteld. Als je één praktisch punt uit dit artikel meeneemt, laat het dan dit zijn.

Toen ik het venster vergrootte, ontdekte ik iets ergers

Toen ik eenmaal niet meer uitging van de beperkte interpretatie en het volledige spectrum in ogenschouw nam, kwam er een groter artefact naar voren, en dat heeft niets te maken met kamlijnen.

Een blokgolf bevat oneindig veel harmonischen. Alles boven de helft van de samplefrequentie kan niet worden weergegeven en valt terug in het hoorbare bereik. Bij een hogere toon kun je het zonder enige analyse horen: genereer een blokgolf op 3000 Hz en er zit een lage toon onder die niet in de toon zelf zit. Dat is de vijftiende harmonische, op 45 kHz, die teruggevouwen is naar 900 Hz — twee octaven onder de toon die wordt gespeeld.

Terug bij 528 Hz ligt de sterkste piek op −33 dB. Dat is veertig decibel boven het artefact met even harmonischen waar ik naar op zoek was. Wat ik het artefact noemde, was dus niet de grootste.

Twee tests bevestigen dat het om vouwen gaat en niet om iets anders:

Verdubbel de bemonsteringsfrequentie en de pieken dalen telkens met zes decibel. −33, −39, −45, −51. Dat is geen toeval: de eerste harmonische die niet meer past, verdubbelt in waarde, en een harmonische die twee keer zo hoog is, is volgens dezelfde ‘één-over-n’-regel zes decibel zachter.

Bouw dezelfde vorm op uit sinusgolven die allemaal binnen de ruimte passen — geen oneindige reeksen, geen rand waar aliasing kan optreden — en het niveau daalt tot 236 dB lager, terug naar rekenkundige ruis.

Drie dingen die klankkleur niet is

Niet de noot. Alle drie de tonen hebben een frequentie van 528,00 Hz. Als je het instrument vraagt wat er wordt gespeeld, geeft het drie keer hetzelfde antwoord.

Het gaat niet om luidheid. Bij dezelfde piekhoogte bevat de vierkante golf ongeveer 3 dB meer energie dan de sinusgolf. Dat klopt, maar het is een verschil in crestfactor — hoe compact dezelfde energie rond de piek is gepakt — en geen bewijs dat harmonischen de luidheid verhogen. Als je de twee in plaats daarvan op energie afstemt, ligt de eigen grondtoon van de blokgolf ongeveer 1 dB onder die van de sinusgolf: dezelfde energie, verdeeld over meer stappen.

Het gaat niet om kwaliteit. Geen enkele vorm is hier rijker, zuiverder of beter voor je. Wat we hebben gemeten is een verdeling van energie over een toonladder — zes getallen voor het vierkant, zes verschillende getallen voor de driehoek, met onder beide dezelfde toon. Dat is een volledige beschrijving van een constante toon, en het is de volledige bewering die de natuurkunde ondersteunt. Een echt instrument verandert ook tijdens het spelen, maar dat is een aparte kwestie.

Probeer het eens, en bekijk de exacte bin

Vier regels. Teken een vierkante golf met een frequentie van 528 Hz en 44.100 samples per seconde, bereken de FFT ervan en meet het niveau bij driemaal de grondfrequentie en vervolgens bij tweemaal de grondfrequentie.

Kijk naar de juiste bin, niet naar het luidste geluid in de buurt, anders maak je dezelfde fout als ik. Bij de oneven bin zou je −9,5 dB moeten zien en bij de even bin ongeveer 76 dB lager.

Verander vervolgens de frequentie en voer het programma opnieuw uit. De −9,5 zal niet verschuiven, waar dan ook tussen 100 Hz en 1000 Hz, omdat het een wet is. Het even getal zal wel verschuiven, en je kunt van tevoren voorspellen waar: neem de grootste gemeenschappelijke deler van je frequentie en 44.100, en dat is de afstand tussen alle punten die het bemonsteringsraster toevoegt.

Beide bovenstaande correcties zijn opgenomen in de gepubliceerde versie van de video. Het vermelden van het verkeerde getal naast het juiste getal is geen bescheidenheid; het is de enige manier waarop een bewering over een meting kan worden gecontroleerd door iemand anders dan degene die de bewering doet.

Bronvermeldingen

De stof die hier aan bod komt, betreft eerder de theoretische grondbeginselen van signaalverwerking dan klinisch bewijs: de discrete Fourier-transformatie en het bijbehorende bin-raster (numpy.fft), spectrale lekkage en vensterresolutie, de Nyquist-grens en aliasing, en de Fourier-reeks voor een blokgolf met zijn one-over-n amplitudes van oneven harmonischen. Geïmplementeerd met numpy; het meetscript en de uitvoer ervan worden in de bijbehorende video op het scherm getoond.

Informatieve inhoud over audiosignaalverwerking. Dit is geen medisch advies.