Même note, son différent : la mesure que j'ai d'abord mal interprétée

Si l’on fait jouer une onde sinusoïdale et une onde carrée à la même fréquence, personne ne les confond. L’une est douce, l’autre est stridente. Pourtant, si l’on demande à un instrument quelle note est jouée, il donne la même réponse dans les deux cas.

C’est justement cet écart qui est au cœur du sujet. Il m’a également conduit à un chiffre qui, selon la théorie, n’aurait pas dû apparaître du tout — et ma première mesure de ce chiffre était erronée, d’une manière qui mérite d’être mise en évidence plutôt que d’être corrigée discrètement.

La note n’est pas le son

Créez trois signaux à 528 Hz en Python — un sinusoïdal, un carré et un triangulaire — et appliquez une FFT à chacun d’entre eux. Les trois signaux indiquent une fréquence fondamentale de 528,00 Hz. En termes de note, ils sont identiques.

Ce qui diffère, c’est tout ce qui se situe au-dessus de la fréquence fondamentale. Une onde répétitive peut s’écrire comme une superposition d’ondes sinusoïdales simples à des multiples entiers de cette fréquence fondamentale. Ces multiples sont des harmoniques, et c’est la présence de certaines d’entre elles, ainsi que leur intensité, que votre oreille perçoit comme le timbre.

Pour une onde carrée, la règle est ancienne et bien définie : seuls les multiples impairs subsistent, et chacun d’entre eux porte une fraction de l’amplitude de la fondamentale égale à l’inverse de son propre nombre. Un tiers de l’amplitude à la troisième harmonique. Un cinquième à la cinquième.

Mesures effectuées sur mon propre fichier :

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

La règle s’applique jusqu’à la décimale. C’est là le plus facile.

Le nombre qui aurait dû être zéro

Cette même règle stipule que les harmoniques paires devraient être totalement absentes. Pas simplement atténuées. Absentes.

Elles ne sont pas absentes. La deuxième harmonique se situe à 75,9 dB en dessous de la fondamentale — soit environ une partie sur six mille. Minuscule, inaudible, mais pas nulle. La théorie prévoyait qu’elle serait nulle.

Le suspect évident est l’appareil de mesure. Ce n’est pourtant pas le cas : si l’on effectue la même mesure sur une onde sinusoïdale pure, le même intervalle affiche une valeur inférieure de 238 dB, ce qui n’est rien d’autre que le bruit arithmétique inhérent aux chiffres eux-mêmes. L’appareil est capable de détecter des signaux bien plus faibles que cela.

En réalité, l’onde carrée échantillonnée ne se répète pas du tout à 528 Hz.

Calculons le plus grand commun diviseur de la fréquence et de la fréquence d’échantillonnage : gcd(528, 44100) = 12. La séquence d’échantillons ne se répète qu’environ douze fois par seconde ; par conséquent, ce que la transformée perçoit n’est pas une série harmonique pure, mais un peigne comportant une raie tous les 12 Hz. Certaines de ces raies du peigne se situent à proximité de l’emplacement où se trouverait une harmonique, et c’est l’une d’entre elles qui apparaît dans le bin pair.

En quoi je me suis trompé

Voici la partie sur laquelle la vidéo s’attarde vraiment, car c’est celle que la plupart des chaînes auraient coupée.

Ma première mesure de cet harmonique pair a donné −67,3 dB, et j’ai noté cette valeur comme réponse.

Ce n’était pas la réponse. J’avais recherché le pic dans une fenêtre d’environ ±14 Hz autour de la fréquence attendue, en partant du principe qu’une petite tolérance serait acceptable. Mais les raies du peigne sont espacées de 12 Hz. Une fenêtre aussi large contient forcément une raie de peigne voisine, et cette raie était plus forte que l’harmonique que je visais réellement. La mesure a consciencieusement signalé l’élément le plus fort de la fenêtre et je l’ai confondu avec celui que je cherchais.

La valeur correcte, mesurée au niveau du bin précis et non pas au niveau du son le plus fort à proximité, est de −75,9 dB. C’est huit décibels et demi de moins que ce que j’avais initialement noté pour moi-même.

La leçon à retenir va au-delà de ce document : une fenêtre de tolérance n’est pas illimitée. L’élargir par mesure de sécurité augmente le risque que la mesure réponde à une question différente de celle que vous avez posée. Si vous ne devez retenir qu’une seule chose concrète de cet article, retenez celle-là.

En agrandissant la fenêtre, j’ai découvert quelque chose de pire

Dès que j’ai cessé de me fier à cette interprétation restrictive et que j’ai examiné l’ensemble du spectre, un artefact plus important est apparu, qui n’a rien à voir avec les raies de peigne.

Une onde carrée comporte des harmoniques à l’infini. Tout ce qui se situe au-dessus de la moitié de la fréquence d’échantillonnage ne peut pas être représenté et revient dans la gamme audible. À une note plus aiguë, on peut l’entendre sans aucune analyse : générez une onde carrée à 3 000 Hz et vous entendrez une note grave en arrière-plan qui ne fait pas partie de la note jouée. Il s’agit de la quinzième harmonique, à 45 kHz, repliée vers le bas à 900 Hz — soit deux octaves en dessous de la note jouée.

À 528 Hz, le pic le plus intense se situe à −33 dB. C’est quarante décibels au-dessus de l’artefact harmonique pair que je cherchais. Ce que j’appelais « l’artefact » n’était pas le plus important.

Deux tests permettent de confirmer qu’il s’agit bien d’un pli et non d’autre chose :

Lorsque l’on double la fréquence d’échantillonnage, l’amplitude des harmoniques diminue systématiquement de six décibels. −33, −39, −45, −51. Ce n’est pas un hasard : la première harmonique qui ne tient plus dans l’intervalle double sa valeur, et une harmonique deux fois plus aiguë est plus faible de six décibels, selon la même règle « un sur n ».

Construisez la même forme à partir de sinus qui s’emboîtent tous parfaitement — sans série infinie, sans bord susceptible de provoquer un effet d’aliasing — et le niveau chute de 236 dB, pour revenir au bruit arithmétique.

Trois choses que le timbre n’est pas

Ce n’est pas la note. Les trois formes mesurent toutes 528,00 Hz. Si l’on demande à l’instrument ce qu’il joue, il donne trois fois la même réponse.

Ce n’est pas une question d’intensité sonore. À hauteur de crête égale, l’onde carrée transporte environ 3 dB d’énergie en plus que l’onde sinusoïdale. C’est un fait, mais il s’agit d’une différence de facteur de crête — c’est-à-dire la densité avec laquelle la même énergie est concentrée autour de la crête — et non d’une preuve que les harmoniques augmentent l’intensité sonore. Si l’on compare plutôt les deux en termes d’énergie, la fondamentale de l’onde carrée se situe environ 1 dB en dessous de celle de l’onde sinusoïdale : même énergie, répartie sur un plus grand nombre de crêtes.

Ce n’est pas une question de qualité. Aucune de ces formes n’est plus riche, plus pure ou meilleure pour vous. Ce que nous avons mesuré, c’est une répartition de l’énergie sur une échelle — six nombres pour le carré, six nombres différents pour le triangle, la même note sous les deux. C’est là une description complète d’un son stable, et c’est là toute l’affirmation que la physique soutient. Un véritable instrument change également pendant qu’il joue, ce qui est une autre question.

Essayez-le et consultez le contenu exact du bac

Quatre lignes. Générez une onde carrée à 528 Hz avec un échantillonnage de 44 100 échantillons par seconde, effectuez sa transformée de Fourier rapide (FFT), puis lisez le niveau à trois fois la fréquence fondamentale, puis à deux fois celle-ci.

Lisez la valeur exacte, et non pas celle qui ressort le plus à proximité, sinon vous commettrez la même erreur que moi. Vous devriez obtenir −9,5 dB pour le canal impair et environ 76 dB pour le canal pair.

Modifiez ensuite la fréquence et relancez le programme. La valeur −9,5 ne bougera pas, que la fréquence soit comprise entre 100 Hz et 1 000 Hz, car c’est une loi. Les nombres pairs, eux, bougeront, et vous pouvez prédire où avant de lancer le test : calculez le plus grand commun diviseur de votre fréquence et de 44 100 ; c’est l’espacement de tous les éléments ajoutés par la grille d’échantillonnage.

Les deux corrections ci-dessus figurent dans la version publiée de la vidéo. Publier le mauvais chiffre à côté du bon n’est pas un signe de modestie ; c’est le seul moyen pour qu’une affirmation relative à une mesure puisse être vérifiée par une personne autre que celle qui l’a formulée.

Références

Le contenu présenté ici relève davantage du traitement du signal théorique que des données cliniques : la transformée de Fourier discrète et sa grille de bins (numpy.fft), la fuite spectrale et la résolution de fenêtre, la limite de Nyquist et l’aliasing, ainsi que la série de Fourier d’une onde carrée avec ses amplitudes d’harmoniques impaires égales à 1/n. Implémenté avec numpy ; le script de mesure et ses résultats sont présentés à l’écran dans la vidéo d’accompagnement.

Contenu pédagogique sur le traitement des signaux audio. Ne constitue pas un avis médical.