نفس النوتة، صوت مختلف: القياس الذي أخطأت فيه في البداية

إذا قمت بتشغيل موجة جيبية وموجة مربعة بنفس التردد، فلن يخلط بينهما أحد. إحداهما ناعمة، والأخرى خشنة. ومع ذلك، إذا سألت آلة موسيقية عن النغمة التي يتم عزفها، فستعطيك نفس الإجابة في المرتين.

هذه الفجوة هي جوهر الموضوع برمته. كما أنها قادتني إلى رقم ما، كان من المفترض — وفقًا للنظرية — ألا يكون موجودًا على الإطلاق؛ وقد كان قياسي الأول لهذا الرقم خاطئًا، بطريقة تستحق أن أُبرزها بدلًا من تصحيحها بهدوء.

النوتة الموسيقية ليست هي الصوت نفسه

قم بإنشاء ثلاثة أشكال بتردد 528 هرتز في لغة بايثون — موجة جيبية، وموجة مربعة، وموجة مثلثة — وقم بتطبيق تحويل فورييه السريع (FFT) على كل منها. وتُظهر الأشكال الثلاثة جميعها أن التردد الأساسي يبلغ 528.00 هرتز. ومن حيث النوتة الموسيقية، فهي متطابقة.

ما يختلف هو كل ما يقع فوق التردد الأساسي. يمكن تمثيل الموجة المتكررة على أنها مجموعة من الموجات الجيبية البسيطة عند مضاعفات التردد الأساسي من الأعداد الصحيحة. هذه المضاعفات هي التوافقيات، وما يحدده وجودها ومستواها هو ما تلتقطه أذنك على أنه «اللون الصوتي».

بالنسبة للموجة المربعة، فإن القاعدة قديمة ومحددة: لا تبقى سوى المضاعفات الفردية، ويحمل كل منها جزءًا من سعة الموجة الأساسية يساوي واحدًا مقسومًا على رقمه. ثلث السعة عند التوافقي الثالث. وخُمسها عند التوافقي الخامس.

تم القياس على ملف خاص بي:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

تنطبق القاعدة حتى الرقم العشري الأول. وهذا هو الجزء السهل.

الرقم الذي كان ينبغي أن يكون صفرًا

وتنص القاعدة نفسها على أن التوافقيات الزوجية يجب أن تكون غائبة تمامًا. ليس بدرجة طفيفة، بل غائبة تمامًا.

إنها ليست غائبة. يقع التوافقي الثاني عند مستوى 75.9 ديسيبل أقل من التوافقي الأساسي — أي حوالي جزء واحد من ستة آلاف. ضئيل، غير مسموع، ولكنه ليس صفرًا. بينما تنص النظرية على أنه صفر.

المشتبه به الواضح هو أداة القياس. الأمر ليس كذلك: عند إجراء القياس نفسه على موجة جيبية نقية، يُظهر نفس النطاق قراءة أقل بمقدار 238 ديسيبل، وهو ما لا يمثل سوى الضوضاء الحسابية للأرقام نفسها. فالجهاز قادر على رصد أشياء أصغر من ذلك بكثير.

الحقيقة هي أن الموجة المربعة التي تم أخذ عينات منها لا تتكرر على الإطلاق بتردد 528 هرتز.

احسب المقسوم عليه المشترك الأكبر بين التردد ومعدل أخذ العينات: gcd(528, 44100) = 12. لا يتكرر نمط العينات سوى اثنتي عشرة مرة في الثانية، لذا فإن ما تراه عملية التحويل ليس سلسلة توافقية نقية، بل مشطًا به خط كل 12 هرتز. تقع بعض خطوط هذا المشط بالقرب من المكان الذي من المفترض أن يكون فيه التوافقي، ويظهر أحدها في الخانة الزوجية.

الأخطاء التي ارتكبتها

هذا هو الجزء الذي يخصص له الفيديو وقتًا حقيقيًّا، لأنه الجزء الذي عادةً ما تحذفه معظم القنوات.

وقد أسفر قياسي الأول لتلك التوافقيّة الزوجية عن −67.3 ديسيبل، فدونتُ هذه القيمة كإجابة.

لم تكن هذه هي الإجابة. كنت قد بحثت عن الذروة داخل نافذة يبلغ عرضها تقريبًا ±14 هرتز حول التردد المتوقع، معتقدًا أن وجود هامش صغير من التفاوت سيكون مقبولًا. لكن خطوط المشط تفصل بينها مسافة 12 هرتز. ومن المؤكد أن نافذة بهذا العرض ستحتوي على خط مشط مجاور، وكان صوت هذا الخط أعلى من التوافقي الذي كنت أستهدفه فعليًّا. وقد أبلغت القياسات بدقة عن أعلى صوت في النافذة، فظننتُ خطأً أنه هو ما كنت أسأل عنه.

القيمة الصحيحة، التي تم قياسها في النطاق المحدد بدلاً من أعلى مستوى صوت قريب منه، هي −75.9 ديسيبل. وهي أقل بثمانية ديسيبلات ونصف من القيمة التي نشرتها في البداية لنفسي.

الدرس المستفاد من هذا الملف هو: نافذة التفاوت ليست حرة. فتوسيعها حرصًا على الأمان يزيد من احتمال أن تعطي القياس إجابة عن سؤال مختلف عن السؤال الذي طرحته. إذا كنت ستستخلص نقطة عملية واحدة من هذا المقال، فليكن ذلك.

عندما تم توسيع النافذة، تم اكتشاف شيء أسوأ

بمجرد أن توقفت عن الاعتماد على التفسير الضيق وبدأت أنظر إلى الصورة الكاملة، ظهرت ظاهرة أكبر، ولا علاقة لها بخطوط المشط.

تحتوي الموجة المربعة على توافقيات إلى ما لا نهاية. ولا يمكن تمثيل أي شيء أعلى من نصف معدل أخذ العينات، بل ينطوي مرة أخرى إلى النطاق المسموع. عند النغمة العالية، يمكنك سماع ذلك دون الحاجة إلى أي تحليل على الإطلاق: قم بتوليد موجة مربعة عند 3000 هرتز وستسمع نغمة منخفضة تحتها غير موجودة في النغمة نفسها. هذه هي التوافقي الخامس عشر، عند 45 كيلوهرتز، الذي يعود إلى 900 هرتز — أي أقل بمقدار أوكتافين عما يتم عزفه.

وبالعودة إلى التردد 528 هرتز، يقع أعلى مستوى للانحراف عند −33 ديسيبل. وهذا يزيد بأربعين ديسيبل عن الانحراف التوافقي الزوجي الذي كنت أسعى إلى تحديده. وما كنت أسميه «الانحراف» لم يكن هو الانحراف الأكبر.

هناك اختباران يؤكدان أنه قابل للطي وليس شيئًا آخر:

عند مضاعفة معدل أخذ العينات، تنخفض مستويات الطيات بمقدار ست ديسيبل في كل مرة. −33، −39، −45، −51. وهذا ليس من قبيل الصدفة: فالتوافقي الأول الذي لم يعد يتناسب مع المعدل الجديد يضاعف قيمته، والتوافقي الذي يبلغ ارتفاعه ضعف ذلك يكون أهدأ بستة ديسيبل وفقًا لنفس قاعدة «واحد على n».

قم ببناء الشكل نفسه باستخدام موجات جيبية تتناسب جميعها — بدون متسلسلات لا نهائية، وبدون حافة تسبب تشويشًا — فينخفض المستوى إلى 236 ديسيبل، ليعود إلى مستوى الضوضاء الحسابية.

ثلاثة أمور لا يُعدّها الطابع الصوتي

ليست النوتة الموسيقية. تبلغ ترددات الأشكال الثلاثة جميعها 528.00 هرتز. إذا سألت الآلة عما تعزفه، فستجيبك بنفس الإجابة ثلاث مرات.

ليس مستوى الصوت. عند بناء الموجتين بنفس ارتفاع الذروة، تحمل الموجة المربعة طاقة تزيد بنحو 3 ديسيبل عن الموجة الجيبية. هذا أمر حقيقي، لكنه يمثل اختلافًا في معامل الذروة — أي مدى كثافة توزيع الطاقة نفسها عند الذروة — وليس دليلًا على أن التوافقيات تزيد من مستوى الصوت. إذا قارنا الموجتين من حيث الطاقة بدلاً من ذلك، فإن التردد الأساسي للموجة المربعة يقع حوالي 1 ديسيبل أدنى من التردد الأساسي للموجة الجيبية: نفس الطاقة، موزعة على عدد أكبر من الدرجات.

ليس مسألة جودة. لا يوجد هنا شكل أكثر ثراءً أو نقاءً أو أفضل بالنسبة لك. ما قمنا بقياسه هو توزيع الطاقة عبر سلم موسيقي — ستة أرقام للمربع، وستة أرقام مختلفة للمثلث، والنغمة نفسها تحت كليهما. هذا وصف كامل لنغمة ثابتة، وهو الادعاء الكامل الذي تدعمه الفيزياء. كما أن الآلة الموسيقية الحقيقية تتغير أيضًا أثناء العزف، وهذه مسألة منفصلة.

جربها، واقرأ محتوى الحاوية بالضبط

أربعة خطوط. قم برسم موجة خطية بتردد 528 هرتز بمعدل 44,100 عينة في الثانية، ثم قم بإجراء تحويل فورييه السريع (FFT) لها، واقرأ مستوى الإشارة عند ثلاثة أضعاف التردد الأساسي ثم عند ضعف التردد الأساسي.

اقرأ القيمة الدقيقة، وليس أعلى صوت بالقرب منها، وإلا فستكرر خطئي. يجب أن تجد قيمة −9.5 ديسيبل عند القيمة الفردية، وقيمة أقل بحوالي 76 ديسيبل عند القيمة الزوجية.

ثم قم بتغيير التردد وقم بتشغيله مرة أخرى. لن يتغير القيمة −9.5، مهما كان التردد في النطاق من 100 هرتز إلى 1000 هرتز، لأنها قاعدة ثابتة. أما الرقم الزوجي فسيتغير، ويمكنك توقع مكانه قبل تشغيله: احسب المقسوم عليه المشترك الأكبر بين التردد و44,100، وستجد أن هذا هو التباعد بين كل ما تضيفه شبكة أخذ العينات.

التصويبان المذكوران أعلاه موجودان في النسخة المنشورة من الفيديو. إن نشر الرقم الخاطئ جنبًا إلى جنب مع الرقم الصحيح ليس من باب التواضع؛ بل هو الطريقة الوحيدة التي يمكن من خلالها لأي شخص غير صاحب الادعاء التحقق من صحة القياس.

المراجع

المواد الواردة هنا تتناول الجوانب النظرية لمعالجة الإشارات وليس الأدلة السريرية: التحويل الفورييه المنفصل وشبكة خلاياه (numpy.fft)، والتسرب الطيفي ودقة النافذة، وحد نايكويست والتشويه الترددي، ومتسلسلة فورييه للموجة المربعة مع سعات التوافقيات الفردية التي تساوي واحدًا مقسومًا على n. تم التنفيذ باستخدام numpy؛ ويظهر البرنامج النصي للقياس ونتائجه على الشاشة في الفيديو المصاحب.

محتوى تعليمي حول معالجة الإشارات الصوتية. لا يُعد هذا نصيحة طبية.