Aynı Not, Farklı Ses: İlk Başta Yanlış Yaptığım Ölçüm

Aynı frekansta bir sinüs dalgası ve bir kare dalga çalın; kimse ikisini birbiriyle karıştırmaz. Biri yumuşak, diğeri ise sert. Oysa bir enstrümana hangi notanın çalındığını sorarsanız, her iki durumda da aynı cevabı verir.

İşte bu fark, konunun özünü oluşturuyor. Bu fark beni, teoriye göre orada hiç olmaması gereken bir sayıya da yönlendirdi — ve bu sayıya ilişkin ilk ölçümüm yanlıştı; bu hatayı sessizce düzeltmek yerine, örnek olarak göstermeye değer bir durumdu.

Not, ses değildir

Python’da 528 Hz frekansında üç ses dalgası oluşturun — bir sinüs, bir kare dalga ve bir üçgen dalga — ve her biri üzerinde bir FFT işlemi gerçekleştirin. Üçü de 528,00 Hz temel frekans değerini gösterir. Not olarak, bu ses dalgaları birbirinin aynısıdır.

Farkı oluşturan şey, temel frekansın üzerindeki her şeydir. Tekrarlayan bir dalga, bu temel frekansın tam sayı katları olan basit sinüs dalgalarının üst üste eklenmesiyle ifade edilebilir. Bu katlar harmoniklerdir ve hangilerinin hangi seviyede mevcut olduğu, kulağınızın tını olarak algıladığı şeydir.

Kare dalga söz konusu olduğunda kural eski ve nettir: Yalnızca tek sayılı katlar kalır ve her biri, temel dalganın genliğinin kendi sayısına eşit olan bir kesirini taşır. Üçüncü harmonikte genliğin üçte biri. Beşinci harmonikte ise beşte biri.

Kendi dosyamda ölçüldüğü üzere:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Kural, ondalık basamağa kadar geçerlidir. İşte bu kısmı kolay.

Sıfır olması gereken sayı

Aynı kural, çift harmoniklerin tamamen eksik olması gerektiğini belirtir. Az değil. Tamamen yok.

Bunlar yok değil. İkinci harmonik, temel frekansın 75,9 dB altında yer alıyor — yaklaşık altı binde bir oranında. Çok küçük, duyulmaz ve sıfır değil. Teoriye göre sıfır olmalıydı.

En bariz şüpheli ölçüm cihazıdır. Öyle değil: Saf sinüs dalgası üzerinde aynı ölçümü yaptığınızda, aynı ölçüm aralığında 238 dB’lik bir düşüş okunur; bu ise sayıların kendisinden kaynaklanan aritmetik gürültüden başka bir şey değildir. Cihaz, bundan çok daha küçük değerleri bile algılayabilmektedir.

Asıl cevap şudur: Örneklemlenen kare dalga, 528 Hz frekansında hiç tekrarlanmamaktadır.

Frekans ile örnekleme hızının en büyük ortak bölenini alalım: gcd(528, 44100) = 12. Örnekleme deseni saniyede yalnızca on iki kez tekrarlanır; dolayısıyla dönüşümde görülen, temiz bir harmonik dizi değil, her 12 Hz’de bir çizgi içeren bir tarakdır. Bu tarak çizgilerinden bazıları, bir harmonik dalganın olması gereken yere yakın bir noktaya denk gelir ve bunlardan biri, çift numaralı bölmede görünür.

Nerede hata yaptım?

İşte videonun üzerinde gerçekten zaman ayırdığı kısım; çünkü bu, çoğu kanalın kesip atacağı kısımdır.

O çift harmonik için yaptığım ilk ölçümde −67,3 dB değeri çıktı ve bunu cevap olarak yazdım.

Bu doğru cevap değildi. Beklenen frekansın çevresinde yaklaşık ±14 Hz genişliğinde bir aralıkta tepe noktasını aramıştım; biraz toleransın sorun olmayacağını düşünmüştüm. Ancak tarak çizgileri birbirinden 12 Hz uzaklıktaydı. Bu kadar geniş bir pencerede komşu bir tarak çizgisinin bulunması kaçınılmazdı ve o çizgi, aslında hedeflediğim harmonikten daha yüksek sesliydi. Ölçüm, penceredeki en yüksek sesli şeyi özenle rapor etti ve ben de bunu sorduğum şeyle karıştırdım.

Yakınındaki en gürültülü ses yerine tam olarak o frekans bandında ölçülen doğru değer −75,9 dB’dir. Bu, ilk başta kendime not ettiğim değerden sekiz buçuk desibel daha sessiz.

Bu dosyadan çıkarılacak genel ders şudur: tolerans aralığı keyfi olarak belirlenemez. Güvenlik amacıyla bu aralığı genişletmek, ölçüm sonucunun sorduğunuz sorudan farklı bir soruyu yanıtlama olasılığını artırır. Bu yazıda tek bir pratik ders çıkaracaksanız, bunu çıkarın.

Pencereyi genişletince daha kötü bir şey ortaya çıktı

Dar kapsamlı yoruma güvenmeyi bıraktığımda ve tüm yelpazeye baktığımda, daha büyük bir yapaylık ortaya çıktı ve bunun tarak çizgileriyle hiçbir ilgisi yok.

Bir kare dalgada sonsuza kadar harmonikler bulunur. Örnekleme frekansının yarısının üzerindeki her şey temsil edilemez ve işitilebilir aralığa geri katlanır. Daha yüksek bir notada, herhangi bir analiz yapmadan bile bunu duyabilirsiniz: 3000 Hz’de bir kare dalga oluşturun; altında, notada bulunmayan düşük bir ton olacaktır. Bu, 45 kHz’de bulunan on beşinci harmoniktir ve çalınan notanın iki oktav altına, 900 Hz’e geri katlanmıştır.

528 Hz’de en yüksek katlanma −33 dB seviyesinde yer alıyor. Bu, benim peşinde olduğum çift harmonik artefaktın kırk desibel üzerinde. Artefakt olarak adlandırdığım şey, asıl büyük olan değildi.

İki test, bunun katlanma olduğu ve başka bir şey olmadığına dair doğrulama sağlıyor:

Örnekleme hızı iki katına çıkarıldığında, katlar her seferinde altı desibel azalır. −33, −39, −45, −51. Bu şans eseri değil: Artık sığmayan ilk harmonik, değerini ikiye katlar ve iki kat daha yüksek bir harmonik, aynı “bir/n” kuralına göre altı desibel daha sessiz olur.

Hepsi birbirine uyan sinüs dalgalarından aynı şekli oluşturun — sonsuz seriler yok, aliasing etkisi yaratacak kenar yok — ve seviye 236 dB düşerek tekrar aritmetik gürültü seviyesine iner.

Timbrenin olmadığı üç şey

Not değil. Üç şeklin de frekansı 528,00 Hz. Enstrümana ne çaldığını sorarsanız, aynı cevabı üç kez verir.

Ses yüksekliği değil. Aynı tepe yüksekliğine ayarlanmış olduğunda, kare dalga sinüs dalgasına göre yaklaşık 3 dB daha fazla enerji taşır. Bu bir gerçektir, ancak bu, tepe faktörü — aynı enerjinin tepe noktasına ne kadar sıkı bir şekilde sığdırıldığı — ile ilgili bir farktır; harmoniklerin ses yüksekliğini artırdığına dair bir kanıt değildir. Bunun yerine ikisini enerji açısından eşleştirirseniz, kare dalganın kendi temel frekansı sinüs dalgasınınkinden yaklaşık 1 dB daha düşük bir seviyede yer alır: aynı enerji, daha fazla basamağa yayılmıştır.

Kalite meselesi değil. Burada hiçbir şekil diğerinden daha zengin, daha saf ya da sizin için daha iyi değildir. Ölçtüğümüz şey, bir merdiven üzerinde enerjinin dağılımıdır — kare için altı sayı, üçgen için altı farklı sayı, her ikisinin altında da aynı nota. Bu, sabit bir tonun tam bir tanımlamasıdır ve fizik biliminin desteklediği iddianın tamamıdır. Gerçek bir enstrüman çalınırken de değişir, bu ise ayrı bir konudur.

Bir deneyin ve tam olarak hangi çöp kutusuna atılacağını okuyun

Dört satır. Saniyede 44.100 örnekleme hızında 528 Hz’de bir kare dalga oluşturun, bunun FFT’sini alın ve temel frekansın üç katında, ardından da iki katında seviye değerlerini okuyun.

Tam olarak o bin’i okuyun, yanındaki en yüksek sesli şeyi değil; aksi takdirde benim hatamı tekrar edersiniz. Tek sayılı bin’de −9,5 dB, çift sayılı bin’de ise yaklaşık 76 dB daha düşük bir değer bulmalısınız.

Ardından frekansı değiştirin ve programı tekrar çalıştırın. −9,5 değeri, 100 Hz ile 1000 Hz arasındaki hiçbir aralıkta değişmeyecektir, çünkü bu bir kuraldır. Çift sayı ise kesinlikle yer değiştirecektir ve programı çalıştırmadan önce nereye gideceğini tahmin edebilirsiniz: frekansınız ile 44.100’ün en büyük ortak bölenini bulun; bu, örnekleme ızgarasının eklediği her şeyin aralığıdır.

Yukarıdaki her iki düzeltme de videonun yayınlanmış versiyonunda yer almaktadır. Doğru rakamın yanında yanlış rakamı da yayınlamak alçakgönüllülük değildir; bu, bir ölçüm iddiasının, iddiayı ortaya atan kişi dışında başkaları tarafından da doğrulanabilmesinin tek yoludur.

Kaynakça

Buradaki içerik, klinik kanıtlardan ziyade sinyal işlemeyle ilgili temel kavramları ele almaktadır: ayrık Fourier dönüşümü ve onun bin ızgarası (numpy.fft), spektral sızıntı ve pencere çözünürlüğü, Nyquist sınırı ve aliasing, ayrıca n’ye bölünmüş tek sayılı harmonik genliklere sahip bir kare dalga için Fourier serisi. numpy ile uygulanmıştır; ölçüm betiği ve çıktısı, eşlik eden videoda ekranda gösterilmektedir.

Ses sinyali işlemeyle ilgili eğitim içeriği. Tıbbi tavsiye niteliği taşımaz.