Что такое «герц» на самом деле и почему мнения по этому вопросу расходятся

Значения частоты постоянно продаются, но практически никогда не измеряются. Прежде чем обсуждать, имеет ли конкретное значение какое-либо влияние, стоит точно определить, что это за величина, ведь удивительно много путаницы возникает из-за того, что люди используют «528 Гц» как название, а не как количественное значение.

Герц — это один цикл в секунду. Вот и всё определение. Эта единица СИ названа в честь Генриха Герца и означает именно это: явление, которое повторяется ровно столько раз в секунду. Звук частотой 528 Гц — это изменение давления воздуха, которое за одну секунду 528 раз повышается и возвращается к исходному уровню.

Строим один, чтобы было что измерить

Для этого синтезатор не нужен. Чистый тон — это синусоида, а синусоида представляет собой три линии:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Выражение 2 * np.pi используется потому, что один полный цикл синусоиды составляет 2π радиан. Умножение на 528 позволяет уместить 528 таких циклов в каждую секунду переменной t. Все остальное в синтезе звука является развитием этой идеи.

Первый показатель: пересечения нулевой отметки

Если волна совершает 528 циклов в секунду, то при движении вверх она пересекает нулевую отметку 528 раз в секунду. Так что посчитайте их:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

За четыре секунды это дает 527,88 циклов в секунду, а не 528.

Второй пункт: БПФ

Другой подход заключается в том, чтобы считывать сигнал целиком за один раз и определять, из каких частот он состоит. Преобразование Фурье разлагает волну на составляющие, и самая сильная из них и является ответом:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

В результате получается 528,00 Гц.

Почему они не согласны

Два достоверных метода, один и тот же сигнал, разные результаты в последней цифре. Возникает соблазн решить, что один из них неисправен. Но ни один из них неисправен.

Число переходов через нуль оказывается меньше, поскольку четырехсекундное окно не содержит целого числа циклов. При частоте 528 Гц за четыре секунды проходит 2112 полных циклов и еще один фрагмент. Счётчик не может учитывать фрагмент, поэтому он его пропускает, и среднее значение получается немного заниженным. Это не является особенностью именно частоты 528 Гц: подобное происходит при любой частоте, длина цикла которой не делится на длину окна без остатка. Если увеличить длину окна, погрешность уменьшится, поскольку один пропущенный фрагмент будет составлять меньшую долю от большего общего числа.

В данном случае результат БПФ выглядит точным, и это должно вызвать подозрения. Его разрешение также определяется окном: четыре секунды аудиоданых дают частотные ячейки с шагом 0,25 Гц. Частота 528 точно попадает в одну из ячеек. Тон с частотой 528,1 Гц будет отнесен к ближайшему интервалу, и БПФ будет выглядеть так же убедительно, давая неверный результат.

Полезный вывод заключается не в том, что какой-то один метод является лучшим. Он заключается в том, что каждое измерение отражает особенности метода, с помощью которого оно было проведено, и цифра, приведенная без указания метода, лишена половины своей сути. Именно поэтому в публикациях на этом канале наряду с цифрой всегда указывается, как она была получена.

Две вещи, из которых следует

Частота, которую вы не слышите, всё равно звучит. Запишите те же три строки, заменив 528 на 1, и файл перестанет быть бесшумным. Он будет содержать волну полной амплитуды, совершающую один цикл в секунду. Диапазон человеческого слуха составляет примерно от 20 Гц до 20 кГц, поэтому частота 1 Гц не воспринимается как звук. «Неслышимый» и «отсутствующий» — это разные утверждения, и именно в этом различии заключается причина, по которой в файле может существовать бинауральная разность частот 4 Гц, хотя вы никогда не слышите эту частоту: она существует как разность между двумя слышимыми тонами, а не как тон сам по себе.

Удвоение звука воспринимается как один шаг, а не два. Частоты 528 Гц и 1056 Гц разделены одной октавой, а от 1056 до 2112 — ещё одной октавой, хотя второй скачок добавляет в два раза больше герц. Восприятие высоты тона происходит примерно по логарифмической шкале, поэтому музыкальные интервалы представляют собой соотношения, а не разности. Именно поэтому спектральные центроиды 590 Гц и 438 Гц находятся дальше друг от друга, чем это следует из простого вычитания.

Часть, имеющая значение для заявлений о частоте

A440 — это эталон, по отношению к которому измеряется любое утверждение о «настройке на X Гц», и это скорее договорённость, чем природная константа. В 1939 году на международной конференции в Лондоне было решено установить стандарт в 440 Гц. До этого, в 1859 году, Франция законодательно закрепила частоту 435 Гц, а концертная высота звука варьировалась в зависимости от города и столетия. Сегодня в Берлине и Вене играют на частоте около 443 Гц, а в Нью-Йорке — около 442 Гц, поскольку музыканты предпочитают более яркое звучание.

Это никоим образом не доказывает, оказывает ли та или иная частота какое-либо воздействие. Это опровергает другую половину теории: ту, согласно которой одна настройка является естественной, а остальные — отклонениями от неё. Все они — согласованные решения. Остаётся вопрос о том, оказывает ли конкретная частота конкретное воздействие, что является эмпирическим вопросом, на который даётся ответ в ходе каждого отдельного исследования и на который честно даётся ответ в других статьях этого журнала.

Смысл в том, чтобы измерить частоту двумя способами, заключается не в значении 0,12 Гц. Дело в том, что значение, которое вы не измерили, — это всего лишь обозначение, а сам процесс измерения занимает три строки.

Список литературы

Здесь речь идет скорее об определениях в области обработки сигналов, чем о клинических данных: определение герца в стандарте SI, а также стандартные свойства дискретного преобразования Фурье и оконных функций, реализованные с помощью numpy. История концертной высоты тона: французский diapason normal 1859 года (435 Гц) и стандарт, принятый на Лондонской конференции 1939 года (440 Гц).

Образовательные материалы по обработке аудиосигналов. Не является медицинской рекомендацией.