Czym właściwie jest Hertz i dlaczego te dwie liczby się nie zgadzają

Wartości częstotliwości są nieustannie sprzedawane, a prawie nigdy nie są mierzone. Zanim zaczniemy dyskutować, czy konkretna wartość ma jakieś znaczenie, warto dokładnie wyjaśnić, czym w ogóle jest ta liczba, ponieważ zaskakująco wiele nieporozumień wynika z tego, że ludzie używają określenia „528 Hz” jako nazwy, a nie jako wielkości liczbowej.

Herc to jeden cykl na sekundę. To cała definicja. Jednostka systemu SI nosi imię Heinricha Hertza i oznacza dokładnie to: zjawisko, które powtarza się w całości tyle razy na sekundę. Dźwięk o częstotliwości 528 Hz to ciśnienie powietrza, które wzrasta i opada z powrotem do poziomu wyjściowego 528 razy w ciągu jednej sekundy.

Buduję jeden, żeby mieć co mierzyć

Nie potrzebujesz do tego syntezatora. Czysty ton to fala sinusoidalna, a fala sinusoidalna składa się z trzech linii:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Wyrażenie 2 * np.pi pojawia się tutaj, ponieważ jeden pełny cykl funkcji sinusoidalnej wynosi 2π radianów. Pomnożenie przez 528 sprawia, że w każdej sekundzie t mieści się 528 takich cykli. Wszystko inne w syntezie dźwięku stanowi rozwinięcie tej zasady.

Pierwszy punkt: przejścia przez zero

Jeśli fala wykonuje 528 cykli na sekundę, to 528 razy na sekundę przechodzi przez punkt zerowy, poruszając się w górę. Policzmy więc:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

W ciągu czterech sekund daje to wynik 527,88 cykli na sekundę, a nie 528.

Drugi punkt: FFT

W drugim podejściu odczytuje się cały sygnał naraz i ustala, z jakich częstotliwości się składa. Transformacja Fouriera rozkłada falę na składowe, a najsilniejsza z nich stanowi odpowiedź:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Wynik to 528,00 Hz.

Dlaczego się nie zgadzają

Dwie rzetelne metody, ten sam sygnał, różne wyniki w ostatniej cyfrze. Można ulec pokusie, by uznać, że jedna z nich jest wadliwa. Żadna z nich nie jest.

Liczba przejść przez zero jest zaniżona, ponieważ czteroseundowe okno nie zawiera pełnej liczby cykli. Przy częstotliwości 528 Hz w ciągu czterech sekund mieści się 2112 pełnych cykli oraz fragment. Licznik nie może zliczyć fragmentu, więc pomija go, przez co średnia wychodzi nieco zaniżona. Nie dotyczy to wyłącznie częstotliwości 528 Hz: zjawisko to występuje przy każdej częstotliwości, której długość cyklu nie dzieli się równo przez długość przedziału. Wydłużenie przedziału powoduje zmniejszenie błędu, ponieważ jeden pominięty fragment stanowi mniejszy ułamek większej całości.

W tym przypadku FFT wygląda na dokładną, co budzi pewne podejrzenia. Jej rozdzielczość zależy również od okna: cztery sekundy materiału dźwiękowego dają przedziały częstotliwości oddalone od siebie o 0,25 Hz. Częstotliwość 528 idealnie mieści się w jednym z przedziałów. Ton o częstotliwości 528,1 Hz zostałby przypisany do najbliższego przedziału, a wykres FFT wyglądałby równie przekonująco, wskazując błędną wartość.

Warto wyciągnąć wniosek, że nie chodzi o to, iż jedna metoda jest lepsza od innych. Chodzi o to, że każdy pomiar odzwierciedla charakter okna, w którym został przeprowadzony, a liczba podana bez wskazania metody jest niekompletna. Dlatego w materiałach publikowanych na tym kanale wraz z danymi liczbowymi podaje się również sposób ich uzyskania.

Dwie rzeczy, które wynikają z tego

Częstotliwość, której nie słyszysz, nadal jest odtwarzana. Wpisz te same trzy linijki, zastępując 528 liczbą 1, a plik nie będzie cichy. Zawiera on falę o pełnej amplitudzie, wykonującą jeden cykl na sekundę. Zakres słyszalności ludzkiego ucha wynosi mniej więcej od 20 Hz do 20 kHz, więc częstotliwość 1 Hz nie wywołuje żadnego dźwięku. „Niesłyszalny” i „nieobecny” to różne stwierdzenia, a różnica między nimi wyjaśnia, dlaczego w pliku może występować różnica między uszami wynosząca 4 Hz, mimo że nigdy nie słyszysz częstotliwości 4 Hz: istnieje ona jako różnica między dwoma słyszalnymi tonami, a nie jako sam ton.

Podwojenie częstotliwości brzmi jak jeden krok, a nie dwa. Częstotliwości 528 Hz i 1056 Hz dzieli jedna oktawa, a odległość od 1056 Hz do 2112 Hz to kolejna oktawa, mimo że drugi skok oznacza dwukrotny wzrost częstotliwości. Postrzeganie wysokości dźwięku ma charakter w przybliżeniu logarytmiczny, dlatego interwały muzyczne są raczej stosunkami niż różnicami. To również wyjaśnia, dlaczego środek ciężkości widma o częstotliwości 590 Hz i ten o częstotliwości 438 Hz są od siebie dalej oddalone, niż sugerowałoby to proste odejmowanie.

Część, która ma znaczenie dla oświadczeń dotyczących częstotliwości

A440 stanowi punkt odniesienia, względem którego mierzy się każde twierdzenie o „stroju na X Hz”, i jest to raczej wynik porozumienia niż stała fizyczna. W 1939 roku podczas międzynarodowej konferencji w Londynie ustalono częstotliwość 440 Hz. Wcześniej, w 1859 roku, Francja wprowadziła ustawowo częstotliwość 435 Hz, a strojenie koncertowe zmieniało się w zależności od miasta i epoki. Obecnie w Berlinie i Wiedniu gra się przy częstotliwości około 443 Hz, a w Nowym Jorku około 442 Hz, ponieważ muzycy preferują jaśniejsze brzmienie.

Nie dowodzi to w żaden sposób, czy konkretna częstotliwość wywiera jakiś wpływ. Obala to jednak inną część tej teorii: tę, która głosi, że jedno strojenie jest zgodne z naturą, a pozostałe stanowią od niej odstępstwa. Wszystkie one są zgodne z naturą. Pozostaje pytanie, czy konkretna częstotliwość wywiera konkretny wpływ, co jest kwestią empiryczną, na którą odpowiedź udzielana jest w poszczególnych badaniach i na którą uczciwie odpowiadamy w innych artykułach niniejszego czasopisma.

Celem zliczania tonu na dwa sposoby nie jest wartość 0,12 Hz. Chodzi o to, że liczba, której nie zmierzyłeś, jest jedynie etykietą, a pomiar obejmuje trzy linie.

Bibliografia

Przedstawiony tu materiał dotyczy raczej teoretycznych podstaw przetwarzania sygnałów niż dowodów klinicznych: definicja herca podana w normie SI oraz standardowe zachowanie dyskretnych transformacji Fouriera i okienkowania, zaimplementowane przy użyciu biblioteki numpy. Historia wysokości dźwięku koncertowego: francuski diapason normal z 1859 r. (435 Hz) oraz standard ustalony na konferencji w Londynie w 1939 r. (440 Hz).

Materiały edukacyjne dotyczące przetwarzania sygnałów audio. Nie stanowią porady medycznej.