Nada yang Sama, Suara yang Berbeda: Pengukuran yang Awalnya Saya Salah

Putar gelombang sinus dan gelombang persegi pada frekuensi yang sama, dan tidak ada yang akan salah mengira keduanya. Yang satu terdengar lembut, yang lain terdengar kasar. Namun, jika Anda bertanya kepada sebuah instrumen nada apa yang sedang dimainkan, instrumen tersebut akan memberikan jawaban yang sama pada kedua kesempatan tersebut.

Kesenjangan itulah inti dari pembahasan ini. Hal itu juga membawa saya pada sebuah angka yang, menurut teori, seharusnya sama sekali tidak ada di sana — dan pengukuran pertama saya terhadap angka tersebut ternyata salah, sehingga hal ini layak untuk diperlihatkan daripada hanya diperbaiki begitu saja.

Nada itu bukanlah suara

Buat tiga gelombang pada frekuensi 528 Hz di Python — gelombang sinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga — lalu jalankan FFT pada masing-masing gelombang tersebut. Ketiga gelombang tersebut menunjukkan frekuensi dasar sebesar 528,00 Hz. Berdasarkan notnya, ketiganya identik.

Yang membedakannya adalah semua frekuensi yang berada di atas frekuensi dasar. Gelombang berulang dapat dituliskan sebagai tumpukan gelombang sinus murni pada kelipatan bilangan bulat dari frekuensi dasar tersebut. Kelipatan-kelipatan itulah yang disebut harmonik, dan harmonik mana saja yang ada serta pada tingkat mana—itulah yang didengar telinga Anda sebagai timbre.

Untuk gelombang persegi, aturannya sudah lama dikenal dan spesifik: hanya kelipatan ganjil yang bertahan, dan masing-masing membawa sebagian amplitudo gelombang dasar yang nilainya sama dengan satu dibagi dengan urutan harmoniknya. Sepertiga amplitudo pada harmonik ketiga. Seperlima pada harmonik kelima.

Diukur berdasarkan file saya sendiri:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Aturan tersebut berlaku hingga satu desimal. Itulah bagian yang mudah.

Angka yang seharusnya nol

Aturan yang sama menyatakan bahwa harmonik genap seharusnya sama sekali tidak ada. Bukan sekadar sedikit. Benar-benar tidak ada.

Frekuensi-frekuensi tersebut tidak hilang. Harmonik kedua berada 75,9 dB di bawah frekuensi dasar — sekitar satu per enam ribu. Sangat kecil, tak terdengar, dan bukan nol. Teori menyatakan nilainya nol.

Penyebab yang paling mungkin adalah alat ukurnya. Nyatanya tidak demikian: jika pengukuran yang sama dilakukan pada gelombang sinus murni, rentang yang sama menunjukkan pembacaan 238 dB lebih rendah, yang tidak lain hanyalah kebisingan aritmatika dari angka-angka itu sendiri. Alat tersebut mampu mendeteksi hal-hal yang jauh lebih kecil daripada ini.

Jawaban yang sebenarnya adalah bahwa gelombang persegi yang diambil sampelnya sama sekali tidak berulang pada frekuensi 528 Hz.

Hitung faktor persekutuan terbesar (FPD) antara frekuensi dan laju sampel: gcd(528, 44100) = 12. Pola sampel hanya berulang sekitar dua belas kali per detik, sehingga yang dilihat oleh transformasi bukanlah deret harmonik yang murni, melainkan sebuah sisir dengan garis setiap 12 Hz. Beberapa garis sisir tersebut berada di dekat posisi di mana harmonik seharusnya berada, dan salah satunya lah yang muncul di bin genap.

Di mana saya salah

Inilah bagian yang mendapat porsi waktu paling banyak dalam video ini, karena bagian inilah yang biasanya dipotong oleh kebanyakan saluran.

Pengukuran pertama saya terhadap harmonik genap tersebut menghasilkan nilai −67,3 dB, dan saya menuliskannya sebagai jawabannya.

Itu bukanlah jawabannya. Saya telah mencari puncak di dalam jendela frekuensi dengan lebar sekitar ±14 Hz di sekitar frekuensi yang diharapkan, dengan pertimbangan bahwa toleransi sedikit seharusnya masih bisa diterima. Namun, garis-garis sisir tersebut berjarak 12 Hz satu sama lain. Jendela selebar itu pasti akan mengandung garis sisir yang berdekatan, dan garis tersebut lebih keras daripada harmonik yang sebenarnya saya tuju. Pengukuran tersebut dengan tepat melaporkan hal yang paling keras di dalam jendela tersebut, dan saya salah mengartikannya sebagai hal yang saya tanyakan.

Nilai yang benar, yang dibaca pada rentang frekuensi yang tepat—bukan pada suara paling keras di sekitarnya—adalah −75,9 dB. Angka ini delapan setengah desibel lebih pelan daripada yang semula saya catat untuk diri sendiri.

Pelajaran yang dapat dipetik dari artikel ini melampaui isi berkas ini: jendela toleransi bukanlah hal yang bebas. Memperlebar jendela toleransi demi keamanan justru membuat hasil pengukuran lebih mungkin menjawab pertanyaan yang berbeda dari yang Anda ajukan. Jika Anda ingin mengambil satu hal praktis dari artikel ini, ambillah hal itu.

Saat memperluas jendela, ditemukan sesuatu yang lebih buruk

Begitu saya berhenti mempercayai penafsiran yang sempit dan melihat gambaran secara keseluruhan, sebuah pola yang lebih besar pun muncul, dan hal itu sama sekali tidak ada hubungannya dengan garis-garis sisir.

Gelombang persegi selalu memiliki harmonik. Semua frekuensi di atas setengah laju sampling tidak dapat direpresentasikan dan akan kembali ke rentang frekuensi yang dapat didengar. Pada nada yang lebih tinggi, Anda dapat mendengarnya tanpa perlu analisis sama sekali: buatlah gelombang persegi pada 3000 Hz, dan akan terdengar nada rendah di bawahnya yang tidak termasuk dalam nada tersebut. Itulah harmonik ke-15, pada 45 kHz, yang dilipat kembali ke 900 Hz — dua oktaf di bawah nada yang sedang dimainkan.

Kembali ke frekuensi 528 Hz, lipatan dengan amplitudo tertinggi berada pada −33 dB. Angka itu empat puluh desibel di atas artefak harmonik genap yang selama ini saya telusuri. Yang saya sebut sebagai artefak itu ternyata bukanlah yang paling menonjol.

Dua tes membuktikan bahwa benda tersebut memang dapat dilipat dan bukan benda lain:

Jika laju sampel digandakan, tingkat kebisingan harmonik akan turun enam desibel, setiap kali. −33, −39, −45, −51. Ini bukan kebetulan: harmonik pertama yang tidak lagi sesuai akan menggandakan nilainya, dan harmonik yang frekuensinya dua kali lipat akan lebih senyap enam desibel berdasarkan aturan “satu dibagi n” yang sama.

Bangun bentuk yang sama dari sinus-sinus yang semuanya saling tumpang tindih — tanpa deret tak terhingga, tanpa tepi yang menimbulkan aliasing — dan nilainya turun hingga 236 dB, kembali ke tingkat kebisingan aritmetika.

Tiga hal yang bukan merupakan timbre

Bukan nada itu. Ketiga bentuk tersebut memiliki frekuensi 528,00 Hz. Jika ditanya instrumen apa yang sedang dimainkan, ia akan menjawab hal yang sama sebanyak tiga kali.

Bukan soal kenyaringan. Jika dibuat dengan ketinggian puncak yang sama, gelombang persegi memiliki energi sekitar 3 dB lebih besar daripada gelombang sinus. Hal itu memang benar, tetapi yang dimaksud adalah perbedaan faktor puncak — seberapa padat energi tersebut terkonsentrasi pada puncak — bukan bukti bahwa harmonik menambah kenyaringan. Jika kedua gelombang tersebut disamakan berdasarkan energinya, frekuensi dasar gelombang persegi berada sekitar 1 dB di bawah frekuensi dasar gelombang sinus: energinya sama, namun tersebar ke lebih banyak langkah.

Bukan soal kualitas. Tidak ada bentuk di sini yang lebih kaya, lebih murni, atau lebih baik bagi Anda. Yang kami ukur adalah distribusi energi di sepanjang tangga nada — enam angka untuk bentuk persegi, enam angka berbeda untuk segitiga, dengan nada yang sama di bawah keduanya. Itulah deskripsi lengkap dari nada yang stabil, dan itulah keseluruhan klaim yang didukung oleh fisika. Alat musik yang sesungguhnya juga berubah saat dimainkan, yang merupakan pertanyaan terpisah.

Cobalah, dan baca isi bin tersebut

Empat baris. Buat gelombang persegi dengan frekuensi 528 Hz pada laju sampling 44.100 sampel per detik, hitung FFT-nya, lalu baca nilai amplitudo pada tiga kali frekuensi dasar dan kemudian pada dua kali frekuensi dasar.

Perhatikan bin yang tepat, bukan suara paling keras di sekitarnya, atau Anda akan mengulangi kesalahan saya. Anda seharusnya menemukan nilai −9,5 dB pada bin ganjil dan sekitar 76 dB lebih rendah pada bin genap.

Kemudian ubah frekuensinya dan jalankan kembali. Nilai −9,5 tidak akan bergeser, di rentang mana pun antara 100 Hz hingga 1000 Hz, karena itu adalah hukum. Angka genap pasti akan bergeser, dan Anda dapat memprediksi posisinya sebelum menjalankannya: ambil faktor persekutuan terbesar (FPB) antara frekuensi Anda dan 44.100, dan itulah jarak antar setiap elemen yang ditambahkan oleh grid sampling.

Kedua koreksi di atas sudah tercantum dalam versi video yang telah dipublikasikan. Memublikasikan angka yang salah bersamaan dengan angka yang benar bukanlah bentuk kerendahan hati; hal itu justru merupakan satu-satunya cara agar klaim pengukuran dapat diverifikasi oleh pihak lain selain orang yang membuat klaim tersebut.

Daftar Pustaka

Materi yang dibahas di sini lebih berfokus pada konsep dasar pemrosesan sinyal daripada bukti klinis: transformasi Fourier diskrit dan kisi bin-nya (numpy.fft), kebocoran spektral dan resolusi jendela, batas Nyquist dan aliasing, serta deret Fourier untuk gelombang persegi beserta amplitudo harmonik ganjilnya yang bernilai satu dibagi n. Diimplementasikan menggunakan numpy; skrip pengukuran dan hasilnya ditampilkan di layar dalam video pendamping.

Konten edukatif mengenai pemrosesan sinyal audio. Bukan saran medis.