हर्ट्ज़ असल में क्या है, और दो गिनतियाँ क्यों अलग निकलती हैं

आवृत्ति की संख्याएँ लगातार बेची जाती हैं और लगभग कभी मापी नहीं जातीं। इससे पहले कि कोई बहस हो कि कोई ख़ास संख्या कुछ करती है या नहीं, यह स्पष्ट होना ज़रूरी है कि वह संख्या है क्या, क्योंकि आगे की बहुत सी उलझन इसी से आती है कि लोग “528 Hz” को एक मात्रा के बजाय एक नाम की तरह इस्तेमाल करते हैं।

एक हर्ट्ज़ यानी प्रति सेकंड एक चक्र। पूरी परिभाषा इतनी ही है। SI इकाई का नाम हाइनरिष हर्ट्ज़ पर है और उसका अर्थ ठीक यही है: कोई चीज़ जो पूरी तरह घटित होती है, हर सेकंड इतनी बार। 528 Hz का स्वर यानी हवा का दाब एक सेकंड में 528 बार उठकर वापस अपनी जगह लौटना।

एक स्वर बनाइए, ताकि मापने को कुछ हो

इसके लिए सिंथेसाइज़र की ज़रूरत नहीं। शुद्ध स्वर एक साइन तरंग है, और साइन तरंग तीन पंक्तियाँ है:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

2 * np.pi इसलिए है कि साइन का एक पूरा चक्र 2π रेडियन का होता है। 528 से गुणा करने पर t के हर सेकंड में उनमें से 528 चक्र समा जाते हैं। ऑडियो संश्लेषण में बाक़ी सब कुछ इसी पंक्ति का विस्तार है।

पहली गिनती: शून्य-पारण

अगर तरंग प्रति सेकंड 528 चक्र पूरे करती है, तो वह प्रति सेकंड 528 बार ऊपर की ओर शून्य पार करती है। तो उन्हें गिनिए:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

चार सेकंड में यह 527.88 चक्र प्रति सेकंड लौटाता है, 528 नहीं।

दूसरी गिनती: FFT

दूसरा तरीक़ा पूरे संकेत को एक साथ पढ़ता है और पूछता है कि वह किन आवृत्तियों से बना है। फ़ूरिये रूपांतरण तरंग को घटकों में तोड़ता है, और सबसे प्रबल घटक ही उत्तर है:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

यह 528.00 Hz लौटाता है।

वे असहमत क्यों हैं

दो ईमानदार तरीक़े, वही संकेत, अंतिम अंक में अलग उत्तर। मन करता है कि तय कर लें इनमें से एक ख़राब है। कोई भी नहीं है।

शून्य-पारण की गिनती कम इसलिए है क्योंकि चार सेकंड की खिड़की में पूरे चक्रों की पूर्णांक संख्या नहीं समाती। 528 Hz पर चार सेकंड में 2112 पूरे चक्र आते हैं और फिर एक टुकड़ा। गिनने वाला टुकड़ा नहीं गिन सकता, इसलिए वह उसे छोड़ देता है और औसत थोड़ा कम निकलता है। यह 528 की ख़ासियत नहीं है: यह हर उस आवृत्ति पर होता है जिसके चक्र की लंबाई खिड़की में पूरी-पूरी नहीं बँटती। खिड़की लंबी कीजिए और त्रुटि घटती है, क्योंकि छूटा हुआ एक टुकड़ा बड़े योग का छोटा हिस्सा बन जाता है।

FFT यहाँ सटीक दिखता है, और उस पर संदेह करना उचित है। उसका विभेदन भी खिड़की से तय होता है: चार सेकंड ऑडियो देने पर आवृत्ति खाने 0.25 Hz के अंतराल पर बनते हैं। 528 ठीक एक खाने पर बैठता है। 528.1 Hz का स्वर उसी खाने में दर्ज होता जो सबसे पास है, और FFT ग़लत उत्तर पर भी उतना ही आश्वस्त दिखता।

काम का निष्कर्ष यह नहीं कि कौन सा तरीक़ा जीता। यह है कि हर माप अपनी खिड़की का आकार अपने साथ ले चलता है, और विधि बताए बिना दी गई संख्या अपना आधा हिस्सा खो चुकी है। इसी कारण इस चैनल के सत्र आँकड़े के साथ यह भी प्रकाशित करते हैं कि वह कैसे निकाला गया।

इससे निकलती दो बातें

जो आवृत्ति आप सुन नहीं सकते वह फिर भी बज रही होती है। वही तीन पंक्तियाँ 528 की जगह 1 के साथ लिखिए और फ़ाइल ख़ामोश नहीं होगी। उसमें प्रति सेकंड एक चक्र पूरा करती पूर्ण-आयाम तरंग है। मानव श्रवण लगभग 20 Hz से 20 kHz तक चलता है, इसलिए 1 Hz कोई स्वर पैदा नहीं करता। “अश्रव्य” और “मौजूद नहीं” अलग कथन हैं, और यही अंतर बताता है कि 4 Hz का बाइनॉरल अंतर फ़ाइल में कैसे मौजूद हो सकता है बिना आपके 4 Hz कभी सुने: वह दो श्रव्य स्वरों के अंतर के रूप में मौजूद है, अपने आप में स्वर के रूप में नहीं।

दुगुना करना एक क़दम जैसा लगता है, दो जैसा नहीं। 528 Hz और 1056 Hz एक सप्तक की दूरी पर हैं, और 1056 से 2112 एक और सप्तक है, हालाँकि दूसरी छलाँग दुगुने हर्ट्ज़ जोड़ती है। स्वर-बोध मोटे तौर पर लघुगणकीय है, इसीलिए संगीत के अंतराल घटाव नहीं बल्कि अनुपात होते हैं। इसीलिए 590 Hz और 438 Hz का स्पेक्ट्रल सेंट्रॉइड कच्ची घटाव से लगने वाले अंतर से ज़्यादा दूर हैं।

आवृत्ति के दावों के लिए जो हिस्सा मायने रखता है

A440 वह संदर्भ है जिससे हर “X Hz पर ट्यून किया गया” दावा नापा जाता है, और वह प्रकृति का स्थिरांक नहीं बल्कि एक सहमति है। 1939 में लंदन के एक अंतरराष्ट्रीय सम्मेलन ने 440 Hz तय किया। उससे पहले फ़्रांस ने 1859 में 435 Hz को क़ानूनी रूप दिया था, और कॉन्सर्ट पिच शहर-दर-शहर और सदी-दर-सदी बहती रही। आज बर्लिन और वियना लगभग 443 पर और न्यूयॉर्क लगभग 442 पर बजाते हैं, क्योंकि वादकों को उजली ध्वनि पसंद है।

यह इस बारे में कुछ स्थापित नहीं करता कि किसी ख़ास आवृत्ति का कोई प्रभाव है या नहीं। यह कहानी का दूसरा आधा हिस्सा गिराता है: वह आधा जो कहता है कि एक ट्यूनिंग प्रकृति की है और बाक़ी उससे विचलन। वे सब सहमतियाँ हैं। जो बचता है वह यह है कि कोई विशिष्ट आवृत्ति कोई विशिष्ट काम करती है या नहीं, और यह अनुभवजन्य प्रश्न है, अध्ययन दर अध्ययन उत्तर दिया जाता है, और इस Journal में अन्यत्र ईमानदारी से दिया गया है।

एक स्वर को दो तरीक़ों से गिनने का मक़सद 0.12 Hz नहीं है। यह है कि जो संख्या आपने मापी नहीं वह केवल एक लेबल है, और मापने का काम तीन पंक्तियों का है।

References

यहाँ की सामग्री नैदानिक प्रमाण नहीं बल्कि परिभाषात्मक सिग्नल प्रोसेसिंग है: हर्ट्ज़ की SI परिभाषा, और असतत फ़ूरिये रूपांतरण तथा विंडोइंग का मानक व्यवहार, numpy के साथ लागू। कॉन्सर्ट पिच का इतिहास: 1859 का फ़्रांसीसी diapason normal (435 Hz) और 1939 का लंदन सम्मेलन मानक (440 Hz)।

ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग पर शैक्षिक सामग्री। यह चिकित्सकीय सलाह नहीं है।