एक ही स्वर, अलग आवाज़: वह माप जो पहली बार मुझसे ग़लत हुआ

एक ही आवृत्ति पर साइन तरंग और स्क्वेयर तरंग बजाइए, कोई उन्हें आपस में नहीं मिलाएगा। एक नरम है, दूसरी कर्कश। फिर भी अगर आप किसी उपकरण से पूछें कि कौन सा स्वर बज रहा है, वह दोनों बार एक ही उत्तर देता है।

यही फ़र्क़ पूरा विषय है। यही मुझे एक ऐसी संख्या तक ले गया जो सिद्धांत के अनुसार वहाँ होनी ही नहीं चाहिए थी — और उस संख्या का मेरा पहला माप ग़लत था, ऐसे तरीक़े से जिसे चुपचाप ठीक कर देने के बजाय दिखाना ज़्यादा काम का है।

स्वर ही आवाज़ नहीं है

Python में 528 Hz पर तीन आकार बनाइए — एक साइन, एक स्क्वेयर, एक ट्रायंगल — और हर एक पर FFT चलाइए। तीनों की मूल आवृत्ति 528.00 Hz दर्ज होती है। स्वर के हिसाब से वे एक जैसे हैं।

फ़र्क़ वह सब है जो मूल आवृत्ति के ऊपर खड़ा है। दोहराने वाली किसी तरंग को उस मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणकों पर सादी साइन तरंगों के ढेर के रूप में लिखा जा सकता है। वे गुणक हार्मोनिक हैं, और उनमें से कौन मौजूद है और किस स्तर पर — यही आपका कान टिम्बर के रूप में पढ़ता है।

स्क्वेयर तरंग के लिए नियम पुराना और सटीक है: केवल विषम गुणक बचते हैं, और हर एक मूल आयाम का उतना अंश ढोता है जितना उसकी अपनी संख्या का व्युत्क्रम है। तीसरे हार्मोनिक पर आयाम का एक तिहाई। पाँचवें पर एक बटा पाँच।

मेरी अपनी फ़ाइल पर मापा गया:

हार्मोनिक	अनुमानित	मापा गया
तीसरा	−9.5 dB	−9.5 dB
पाँचवाँ	−14.0 dB	−14.0 dB
सातवाँ	−16.9 dB	−16.9 dB
नौवाँ	−19.1 dB	−19.1 dB

नियम दशमलव तक टिकता है। यह आसान हिस्सा है।

वह संख्या जो शून्य होनी चाहिए थी

वही नियम कहता है कि सम हार्मोनिक पूरी तरह ग़ायब होने चाहिए। छोटे नहीं। अनुपस्थित।

वे अनुपस्थित नहीं हैं। दूसरा हार्मोनिक मूल आवृत्ति से 75.9 dB नीचे बैठता है — लगभग छह हज़ार में एक हिस्सा। सूक्ष्म, अश्रव्य, और शून्य नहीं। सिद्धांत ने शून्य कहा था।

पहला संदेह मापने वाले उपकरण पर जाता है। वह दोषी नहीं है: वही माप एक शुद्ध साइन पर चलाइए और उसी बिन में 238 dB नीचे पढ़ता है, जो केवल संख्याओं का अपना अंकगणितीय शोर है। उपकरण इससे कहीं छोटी चीज़ें देख सकता है।

असली उत्तर यह है कि सैंपल किया हुआ स्क्वेयर 528 Hz पर दोहराता ही नहीं।

आवृत्ति और सैंपल दर का महत्तम समापवर्तक लीजिए: gcd(528, 44100) = 12। सैंपलों का पैटर्न सेकंड में केवल बारह बार लौटता है, इसलिए रूपांतरण को साफ़ हार्मोनिक श्रृंखला नहीं, बल्कि हर 12 Hz पर एक रेखा वाली कंघी दिखती है। उनमें से कुछ रेखाएँ ठीक वहाँ आ पड़ती हैं जहाँ कोई हार्मोनिक होता, और उनमें से एक ही सम बिन में दिखाई देती है।

मुझसे कहाँ ग़लती हुई

यह वह हिस्सा है जिस पर वीडियो असल वक़्त ख़र्च करता है, क्योंकि यही वह हिस्सा है जिसे अधिकांश चैनल काट देते।

उस सम हार्मोनिक का मेरा पहला माप −67.3 dB निकला, और मैंने उसे उत्तर मानकर लिख लिया।

वह उत्तर नहीं था। मैंने अपेक्षित आवृत्ति के आसपास लगभग ±14 Hz चौड़ी एक खिड़की के भीतर शिखर खोजा था, यह सोचकर कि थोड़ी छूट रखना उदार होगा। पर कंघी की रेखाएँ 12 Hz के अंतराल पर हैं। इतनी चौड़ी खिड़की में पड़ोसी कंघी रेखा का आना तय है, और वह रेखा उस हार्मोनिक से तेज़ थी जिसे मैं वास्तव में निशाना बना रहा था। माप ने ईमानदारी से खिड़की की सबसे तेज़ चीज़ बता दी और मैंने उसे अपने पूछे हुए सवाल का जवाब समझ लिया।

सही मान, पास की सबसे तेज़ चीज़ के बजाय ठीक उसी बिन पर पढ़ा जाए तो, −75.9 dB है। पहले ख़ुद के लिए दर्ज किए मान से साढ़े आठ डेसिबल धीमा।

सबक़ इस फ़ाइल से आगे भी चलता है: सहनशीलता की खिड़की मुफ़्त नहीं होती। उसे “सुरक्षित रहने के लिए” चौड़ा करना, माप के आपके पूछे सवाल के बजाय किसी और सवाल का जवाब देने की संभावना बढ़ा देता है। इस लेख से एक व्यावहारिक बात लेनी हो, तो यही लीजिए।

खिड़की चौड़ी करने पर उससे बुरा कुछ मिला

जब मैंने सँकरे पाठ पर भरोसा करना छोड़ा और पूरे स्पेक्ट्रम को देखा, तो एक बड़ा आर्टिफ़ैक्ट सामने आया, और उसका कंघी रेखाओं से कोई लेना-देना नहीं है।

स्क्वेयर तरंग के हार्मोनिक कभी ख़त्म नहीं होते। सैंपल दर के आधे से ऊपर जो कुछ है वह प्रस्तुत नहीं हो सकता और मुड़कर श्रव्य परास में लौट आता है। ऊँचे स्वर पर आप इसे बिना किसी विश्लेषण के सुन सकते हैं: 3000 Hz पर एक स्क्वेयर बनाइए और उसके नीचे एक नीचा स्वर सुनाई देगा जो उस नोट में है ही नहीं। वह पंद्रहवाँ हार्मोनिक है, 45 kHz पर, जो मुड़कर 900 Hz पर आ गिरा है — बजाए जा रहे स्वर से दो सप्तक नीचे।

528 Hz पर लौटें तो सबसे तेज़ मोड़ −33 dB पर बैठता है। यानी जिस सम-हार्मोनिक आर्टिफ़ैक्ट के पीछे मैं पड़ा था, उससे चालीस डेसिबल ऊपर। जिसे मैं आर्टिफ़ैक्ट कह रहा था, वह बड़ा वाला था ही नहीं।

दो परीक्षण पुष्टि करते हैं कि यह मुड़ना है, कुछ और नहीं:

सैंपल दर दुगुनी कीजिए और मोड़ हर बार छह डेसिबल गिरते हैं। −33, −39, −45, −51। संयोग नहीं: पहला हार्मोनिक जो अब नहीं समाता, अपनी संख्या दुगुनी कर लेता है, और दुगुनी ऊँचाई का हार्मोनिक उसी एक-बटा-n नियम से छह डेसिबल धीमा होता है।

वही आकार ऐसी साइनों से बनाइए जो सब समाती हों — कोई अनंत श्रृंखला नहीं, मुड़ने के लिए कोई किनारा नहीं — और यह 236 dB नीचे, वापस अंकगणितीय शोर में गिर जाता है।

टिम्बर तीन चीज़ें नहीं है

स्वर नहीं। तीनों आकार 528.00 Hz मापते हैं। उपकरण से पूछिए कि क्या बज रहा है, वह तीनों बार वही उत्तर देता है।

तेज़ी नहीं। एक ही शिखर ऊँचाई पर बनाए जाएँ तो स्क्वेयर साइन से लगभग 3 dB ज़्यादा ऊर्जा ढोता है। यह असली है, पर यह क्रेस्ट फ़ैक्टर का अंतर है — वही ऊर्जा शिखर के पास कितनी कसकर बँधती है — इसका प्रमाण नहीं कि हार्मोनिक तेज़ी बढ़ाते हैं। दोनों को ऊर्जा से मिलाइए और स्क्वेयर की अपनी मूल आवृत्ति साइन की तुलना में लगभग 1 dB नीचे बैठती है: वही ऊर्जा, ज़्यादा पायदानों पर फैली हुई।

गुणवत्ता नहीं। यहाँ कोई आकार दूसरे से समृद्ध, शुद्ध या आपके लिए बेहतर नहीं है। हमने जो मापा वह एक सीढ़ी पर ऊर्जा का वितरण है — स्क्वेयर के लिए छह संख्याएँ, ट्रायंगल के लिए छह अलग, और दोनों के नीचे वही स्वर। किसी स्थिर स्वर का यही पूरा विवरण है, और भौतिकी बस इतने ही दावे का समर्थन करती है। असली वाद्य बजते-बजते बदलता भी है, जो अलग सवाल है।

ख़ुद आज़माइए, और ठीक उसी बिन को पढ़िए

चार पंक्तियाँ। 528 Hz पर, 44,100 सैंपल प्रति सेकंड पर एक स्क्वेयर बनाइए, उसका FFT लीजिए, और मूल आवृत्ति के तीन गुने पर तथा फिर दो गुने पर स्तर पढ़िए।

ठीक उसी बिन को पढ़िए, उसके पास की सबसे तेज़ चीज़ को नहीं, वरना आप मेरी ग़लती दोहराएँगे। आपको विषम वाले पर −9.5 dB और सम वाले पर लगभग 76 dB नीचे मिलना चाहिए।

फिर आवृत्ति बदलिए और दोबारा चलाइए। −9.5 नहीं हिलेगा, 100 Hz से 1000 Hz तक कहीं भी, क्योंकि यह एक नियम है। सम संख्या हिलेगी, और चलाने से पहले ही आप बता सकते हैं कहाँ: अपनी आवृत्ति और 44,100 का महत्तम समापवर्तक निकालिए, और सैंपलिंग ग्रिड जो कुछ जोड़ता है उसका अंतराल वही है।

ऊपर की दोनों सुधारें वीडियो के प्रकाशित संस्करण में हैं। सही संख्या के साथ ग़लत संख्या भी प्रकाशित करना विनम्रता नहीं है; किसी माप-दावे को उसे करने वाले के अलावा किसी और द्वारा जाँचे जा सकने का यही एकमात्र तरीक़ा है।

References

यहाँ की सामग्री नैदानिक प्रमाण नहीं बल्कि परिभाषात्मक सिग्नल प्रोसेसिंग है: असतत फ़ूरिये रूपांतरण और उसका बिन ग्रिड (numpy.fft), स्पेक्ट्रल रिसाव और पेंसिल-चौड़ाई विभेदन, नाइक्विस्ट सीमा और एलियासिंग, तथा स्क्वेयर तरंग की फ़ूरिये श्रृंखला अपने एक-बटा-n विषम-हार्मोनिक आयामों के साथ। numpy से लागू; मापन स्क्रिप्ट और उसका आउटपुट साथी वीडियो में परदे पर दिखाया गया है।

ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग पर शैक्षिक सामग्री। यह चिकित्सकीय सलाह नहीं है।