Qué es realmente un «hertz» y por qué hay dos opiniones discrepantes al respecto

Las frecuencias se comercializan constantemente, pero casi nunca se miden. Antes de entrar en cualquier debate sobre si una frecuencia concreta tiene algún efecto, conviene precisar qué es exactamente esa cifra, ya que gran parte de la confusión que surge posteriormente se debe a que la gente utiliza «528 Hz» como un nombre en lugar de como una cantidad.

Un hercio es un ciclo por segundo. Esa es toda la definición. La unidad del Sistema Internacional (SI) lleva el nombre de Heinrich Hertz y significa exactamente eso: algo que ocurre, en su totalidad, tantas veces por segundo. Un tono de 528 Hz corresponde a un aumento y una disminución de la presión del aire hasta volver al punto de partida 528 veces en un segundo.

Voy a construir uno, para que haya algo que medir

Para esto no hace falta un sintetizador. Un tono puro es una onda sinusoidal, y una onda sinusoidal se representa con tres líneas:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

El 2 * np.pi está ahí porque un ciclo completo de una función seno es de 2π radianes. Al multiplicarlo por 528, caben 528 de esos ciclos en cada segundo de t. Todo lo demás en la síntesis de audio es una ampliación de este principio.

El primer recuento: cruces por cero

Si una onda completa 528 ciclos por segundo, cruza el punto cero en su movimiento ascendente 528 veces por segundo. Así que cuéntalos:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

En cuatro segundos, esto da como resultado 527,88 ciclos por segundo, y no 528.

El segundo punto: la FFT

El otro método lee toda la señal de una sola vez y determina de qué frecuencias está compuesta. Una transformada de Fourier descompone la onda en componentes, y el más intenso de ellos es la respuesta:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

El resultado es 528,00 Hz.

Por qué no están de acuerdo

Dos métodos fiables, la misma señal, respuestas diferentes en el último dígito. La tentación es pensar que uno de ellos no funciona. Ninguno de los dos falla.

El recuento de cruces por cero es inferior al esperado porque la ventana de cuatro segundos no contiene un número entero de ciclos. A 528 Hz, cuatro segundos abarcan 2112 ciclos completos y, además, un fragmento. El contador no puede contabilizar un fragmento, por lo que lo descarta, y la media resulta ligeramente inferior. Esto no es específico de 528: ocurre con cualquier frecuencia cuya duración de ciclo no se divida de forma exacta en la ventana. Si se alarga la ventana, el error se reduce, ya que un fragmento descartado representa una proporción menor de un total mayor.

La FFT parece exacta en este caso, y conviene desconfiar de ello. Su resolución también viene determinada por la ventana: cuatro segundos de audio dan lugar a intervalos de frecuencia separados entre sí por 0,25 Hz. El valor 528 encaja perfectamente en uno de esos intervalos. Un tono a 528,1 Hz se registraría en el intervalo más cercano, y la FFT parecería igual de segura de esa respuesta errónea.

La conclusión útil no es que un método sea mejor que otro. Es que cada medición refleja la forma de la ventana en la que se ha realizado, y una cifra que se cita sin indicar el método utilizado carece de la mitad de su significado. Por eso, en las sesiones de este canal se publica, junto con la cifra, cómo se ha obtenido dicha cifra.

Dos cosas que se derivan de ello

Una frecuencia que no puedes oír sigue sonando. Escribe las mismas tres líneas sustituyendo el 528 por un 1 y el archivo ya no estará en silencio. Contiene una onda de amplitud completa que completa un ciclo por segundo. El oído humano tiene un rango de aproximadamente 20 Hz a 20 kHz, por lo que 1 Hz no produce ningún tono. «Inaudible» y «no está ahí» son afirmaciones diferentes, y esa diferencia explica por qué puede existir una diferencia binaural de 4 Hz en un archivo sin que nunca llegues a oír esos 4 Hz: existe como la diferencia entre dos tonos audibles, no como un tono en sí mismo.

Duplicar la frecuencia parece un solo paso, no dos. 528 Hz y 1056 Hz están separados por una octava, y de 1056 a 2112 hay otra octava, aunque el segundo salto suponga el doble de hercios. La percepción del tono es aproximadamente logarítmica, por lo que los intervalos musicales son relaciones y no diferencias. También es la razón por la que un centroide espectral de 590 Hz y otro de 438 Hz están más separados de lo que sugiere la resta simple.

El aspecto relevante para las declaraciones sobre la frecuencia

El A440 es la referencia con la que se comparan todas las afirmaciones del tipo «afinado a X Hz», y se trata de un acuerdo más que de una constante de la naturaleza. En 1939, una conferencia internacional celebrada en Londres estableció el 440 Hz como referencia. Antes de eso, Francia había fijado por ley el 435 Hz en 1859, y el tono de concierto variaba según la ciudad y el siglo. Hoy en día, en Berlín y Viena se toca cerca de los 443 Hz y en Nueva York cerca de los 442 Hz, porque los músicos prefieren un sonido más brillante.

Eso no demuestra nada sobre si una frecuencia concreta tiene algún efecto. Lo que hace es desmontar otra parte de la historia: aquella que afirma que una afinación pertenece a la naturaleza y que las demás son desviaciones de ella. Todas ellas son acuerdos. Lo que queda por determinar es si una frecuencia concreta produce un efecto específico, lo cual es una cuestión empírica, que se responde estudio a estudio y a la que se ha dado una respuesta honesta en otros artículos de esta revista.

El objetivo de contar un tono de dos maneras no es el valor de 0,12 Hz. Es que un número que no se ha medido no es más que una etiqueta, y la medición tiene una longitud de tres líneas.

Referencias

El contenido que aquí se presenta se centra en el procesamiento de señales desde un punto de vista teórico, más que en la evidencia clínica: la definición del hertz según el Sistema Internacional (SI) y el comportamiento estándar de las transformadas de Fourier discretas y la aplicación de ventanas, implementadas con numpy. Historia de la afinación de los conciertos: el diapason normal francés de 1859 (435 Hz) y la norma de la conferencia de Londres de 1939 (440 Hz).

Contenido educativo sobre el procesamiento de señales de audio. No constituye asesoramiento médico.