La misma nota, un sonido diferente: la medición que me salió mal al principio

Si reproduces una onda sinusoidal y una onda cuadrada a la misma frecuencia, nadie las confunde. Una es suave y la otra, áspera. Sin embargo, si le preguntas a un instrumento qué nota está sonando, te dará la misma respuesta en ambos casos.

Esa diferencia es precisamente el tema central. Además, me llevó a encontrar una cifra que, según la teoría, no debería haber aparecido en absoluto, y mi primera medición de esa cifra era errónea, de una forma que merece la pena señalar en lugar de corregirla discretamente.

La nota no es el sonido

Genera tres señales a 528 Hz en Python —una sinusoidal, una cuadrada y una triangular— y aplica una FFT a cada una. Las tres arrojan una frecuencia fundamental de 528,00 Hz. En cuanto a las notas, son idénticas.

Lo que difiere es todo aquello que se sitúa por encima de la frecuencia fundamental. Una onda repetitiva puede expresarse como una superposición de ondas sinusoidales simples a múltiplos enteros de esa frecuencia fundamental. Esos múltiplos son armónicos, y cuáles de ellos están presentes, y a qué nivel, es lo que el oído percibe como timbre.

En el caso de una onda cuadrada, la regla es antigua y específica: solo sobreviven los múltiplos impares, y cada uno de ellos tiene una amplitud igual a una fracción de la amplitud de la fundamental, equivalente a la inversa de su propio número. Un tercio de la amplitud en el tercer armónico. Una quinta parte en el quinto.

Medido en mi propio archivo:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

La regla se aplica hasta el primer decimal. Esa es la parte fácil.

El número que debería haber sido cero

La misma regla establece que los armónicos pares deberían estar totalmente ausentes. No en pequeña cantidad. Ausentes.

No es que no estén presentes. El segundo armónico se sitúa 75,9 dB por debajo de la fundamental, lo que equivale aproximadamente a una parte por cada seis mil. Es minúsculo, inaudible, pero no es cero. La teoría decía que era cero.

El sospechoso más obvio es el instrumento de medición. Pero no es así: si se realiza la misma medición con una onda sinusoidal pura, ese mismo intervalo marca 238 dB por debajo, lo que no es más que el ruido aritmético de los propios números. El instrumento es capaz de detectar valores mucho más pequeños que este.

La respuesta correcta es que la onda cuadrada muestreada no se repite en absoluto a 528 Hz.

Calcula el máximo común divisor de la frecuencia y la frecuencia de muestreo: gcd(528, 44100) = 12. El patrón de muestras solo se repite unas doce veces por segundo, por lo que lo que ve la transformada no es una serie armónica limpia, sino un peine con una línea cada 12 Hz. Algunas de esas líneas del peine se sitúan cerca de donde estaría un armónico, y una de ellas es la que aparece en el bin par.

En qué me equivoqué

Esta es la parte a la que el vídeo dedica más tiempo, ya que es la que la mayoría de los canales omitirían.

Mi primera medición de ese armónico par dio como resultado −67,3 dB, y lo anoté como respuesta.

No era esa la respuesta. Había buscado el pico dentro de una ventana de aproximadamente ±14 Hz de ancho en torno a la frecuencia esperada, pensando que un poco de tolerancia sería suficiente. Pero las líneas del peine están separadas por 12 Hz. Una ventana tan amplia garantiza que contenga una línea del peine adyacente, y esa línea era más intensa que el armónico que realmente buscaba. La medición registró fielmente el valor más intenso de la ventana y yo lo confundí con lo que estaba buscando.

El valor correcto, medido en el canal exacto y no en el sonido más fuerte que hay cerca de él, es de −75,9 dB. Ocho decibelios y medio más bajo de lo que había publicado inicialmente.

La lección que se puede extraer de este artículo va más allá de lo que aquí se expone: una ventana de tolerancia no es ilimitada. Ampliarla por motivos de seguridad aumenta la probabilidad de que la medición responda a una pregunta diferente a la que se ha planteado. Si hay algo práctico que puedas sacar de este artículo, que sea eso.

Al ampliar la ventana, descubrí algo peor

En cuanto dejé de fiarme de esa interpretación limitada y analicé el panorama en su conjunto, apareció un fenómeno más amplio que no tiene nada que ver con las líneas de peine.

Una onda cuadrada tiene armónicos infinitos. Todo lo que está por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo no se puede representar y vuelve a situarse dentro del rango audible. En una nota más aguda, se puede oír sin necesidad de ningún análisis: genera una onda cuadrada a 3000 Hz y se percibirá un tono grave subyacente que no forma parte de la nota. Se trata del armónico decimoquinto, a 45 kHz, que se pliega de nuevo hasta los 900 Hz —dos octavas por debajo de lo que se está tocando—.

Volviendo a los 528 Hz, el pico más intenso se sitúa en −33 dB. Eso supone cuarenta decibelios por encima del artefacto de armónicos pares que había estado buscando. Lo que yo llamaba «artefacto» no era el más importante.

Hay dos pruebas que confirman que se trata de un pliegue y no de otra cosa:

Si se duplica la frecuencia de muestreo, los pliegues bajan seis decibelios, sin excepción. −33, −39, −45, −51. No es casualidad: el primer armónico que ya no cabe duplica su valor, y un armónico dos veces más alto es seis decibelios más silencioso según la misma regla de «uno sobre n».

Si se construye la misma forma a partir de senos que encajan perfectamente —sin series infinitas ni bordes que provoquen aliasing— el nivel desciende hasta los 236 dB por debajo, volviendo al ruido aritmético.

Tres cosas que el timbre no es

No es la nota. Las tres formas tienen una frecuencia de 528,00 Hz. Si le preguntas al instrumento qué está sonando, te responde lo mismo tres veces.

No es una cuestión de volumen. Con la misma altura de pico, la onda cuadrada contiene unos 3 dB más de energía que la sinusoidal. Eso es cierto, pero se trata de una diferencia en el factor de cresta —es decir, la densidad con la que se concentra la misma energía en el pico— y no una prueba de que los armónicos aumenten el volumen. Si, en cambio, se equiparan ambas ondas en cuanto a energía, la fundamental de la onda cuadrada se sitúa aproximadamente 1 dB por debajo de la del seno: la misma energía, repartida en más pasos.

No es una cuestión de calidad. Ninguna de estas formas es más rica, más pura ni mejor para ti. Lo que hemos medido es una distribución de la energía a lo largo de una escalera: seis números para el cuadrado, seis números diferentes para el triángulo, la misma nota subyacente en ambos. Esa es una descripción completa de un tono constante, y es todo lo que la física respalda. Un instrumento real también cambia mientras suena, lo cual es otra cuestión.

Pruébalo y lee el bin exacto

Cuatro líneas. Genera un cuadrado a 528 Hz con 44 100 muestras por segundo, calcula su FFT y lee el nivel a tres veces la frecuencia fundamental y, a continuación, a dos veces.

Fíjate en el bin exacto, no en lo que suene más fuerte a su alrededor, o cometerás el mismo error que yo. Deberías encontrar −9,5 dB en el impar y unos 76 dB por debajo en el par.

A continuación, cambia la frecuencia y vuelve a ejecutarlo. El valor de −9,5 no se moverá en ningún punto entre 100 Hz y 1000 Hz, porque es una ley. El número par sí se moverá, y puedes predecir dónde antes de ejecutarlo: calcula el máximo común divisor de tu frecuencia y 44 100, y ese será el espaciado de todo lo que añade la cuadrícula de muestreo.

Ambas correcciones anteriores figuran en la versión publicada del vídeo. Publicar la cifra errónea junto a la correcta no es modestia; es la única forma de que cualquiera, aparte de quien la ha facilitado, pueda comprobar una afirmación sobre una medida.

Referencias

El contenido que aquí se presenta se centra en conceptos fundamentales del procesamiento de señales, más que en evidencia clínica: la transformada discreta de Fourier y su rejilla de binos (numpy.fft), la fuga espectral y la resolución de la ventana, el límite de Nyquist y el aliasing, y la serie de Fourier de una onda cuadrada con sus amplitudes de armónicos impares en la forma de «uno sobre n». Implementado con numpy; el script de medición y su resultado se muestran en pantalla en el vídeo adjunto.

Contenido educativo sobre el procesamiento de señales de audio. No constituye asesoramiento médico.