Τι είναι στην πραγματικότητα το «Hertz» και γιατί οι δύο απόψεις διαφέρουν

Οι τιμές συχνότητας πωλούνται συνεχώς, ενώ σχεδόν ποτέ δεν μετρώνται. Πριν ξεκινήσει οποιαδήποτε συζήτηση για το αν μια συγκεκριμένη τιμή έχει κάποια επίδραση, αξίζει να είμαστε ακριβείς ως προς το τι ακριβώς είναι αυτή η τιμή, διότι ένα εκπληκτικά μεγάλο μέρος της σύγχυσης που προκύπτει στη συνέχεια οφείλεται στο γεγονός ότι οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το «528 Hz» ως όνομα και όχι ως ποσότητα.

Ένα hertz αντιστοιχεί σε έναν κύκλο ανά δευτερόλεπτο. Αυτός είναι ο πλήρης ορισμός. Η μονάδα του συστήματος SI πήρε το όνομά της από τον Χάινριχ Χερτς και σημαίνει ακριβώς αυτό: ένα φαινόμενο που επαναλαμβάνεται, πλήρως, τόσες φορές κάθε δευτερόλεπτο. Ένας ήχος στα 528 Hz αντιστοιχεί στην αύξηση και τη μείωση της πίεσης του αέρα, η οποία επιστρέφει στο αρχικό της επίπεδο, 528 φορές σε ένα δευτερόλεπτο.

Φτιάχνω ένα, για να έχω κάτι να μετρήσω

Δεν χρειάζεσαι συνθεσάιζερ γι’ αυτό. Ένας καθαρός τόνος είναι ένα ημιτονοειδές κύμα, και ένα ημιτονοειδές κύμα αποτελείται από τρεις γραμμές:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Το 2 * np.pi υπάρχει επειδή ένας πλήρης κύκλος του ημιτόνου είναι 2π ακτίνια. Πολλαπλασιάζοντας με το 528, 528 από αυτούς τους κύκλους χωράνε σε κάθε δευτερόλεπτο του t. Όλα τα υπόλοιπα στη σύνθεση ήχου αποτελούν επεξεργασία αυτής της αρχής.

Πρώτη μέτρηση: διασταυρώσεις μηδενικής τιμής

Αν ένα κύμα ολοκληρώνει 528 κύκλους ανά δευτερόλεπτο, περνάει από το μηδέν καθώς ανεβαίνει 528 φορές ανά δευτερόλεπτο. Ας τα μετρήσουμε λοιπόν:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Σε διάστημα τεσσάρων δευτερολέπτων, το αποτέλεσμα είναι 527,88 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο, και όχι 528.

Η δεύτερη μέτρηση: η FFT

Η άλλη μέθοδος αναλύει ολόκληρο το σήμα με μία κίνηση και προσδιορίζει από ποιες συχνότητες αποτελείται. Ο μετασχηματισμός Fourier αναλύει το κύμα σε συνιστώσες, και η ισχυρότερη από αυτές αποτελεί την απάντηση:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Το αποτέλεσμα είναι 528,00 Hz.

Γιατί διαφωνούν

Δύο αξιόπιστες μέθοδοι, το ίδιο σήμα, διαφορετικά αποτελέσματα στο τελευταίο ψηφίο. Ο πειρασμός είναι να συμπεράνουμε ότι μία από τις δύο δεν λειτουργεί σωστά. Καμία από τις δύο δεν έχει πρόβλημα.

Ο αριθμός των διασταυρώσεων μηδέν είναι μικρός, επειδή το παράθυρο των τεσσάρων δευτερολέπτων δεν περιέχει ακέραιο αριθμό κύκλων. Στα 528 Hz, τα τέσσερα δευτερόλεπτα περιλαμβάνουν 2112 πλήρεις κύκλους και στη συνέχεια ένα τμήμα. Ο μετρητής δεν μπορεί να μετρήσει ένα τμήμα, οπότε το παραλείπει, και ο μέσος όρος βγαίνει ελαφρώς χαμηλότερος. Αυτό δεν ισχύει μόνο για τα 528: συμβαίνει σε οποιαδήποτε συχνότητα της οποίας το μήκος κύκλου δεν διαιρείται ομοιόμορφα στο παράθυρο. Αν επιμηκυνθεί το παράθυρο, το σφάλμα μειώνεται, επειδή ένα τμήμα που παραλείπεται αποτελεί μικρότερο ποσοστό ενός μεγαλύτερου συνόλου.

Η FFT φαίνεται ακριβής σε αυτή την περίπτωση, και αξίζει να το θεωρήσουμε ύποπτο. Η ανάλυση της καθορίζεται επίσης από το παράθυρο: τέσσερα δευτερόλεπτα ήχου δίνουν διαστήματα συχνοτήτων με απόσταση 0,25 Hz μεταξύ τους. Η συχνότητα 528 Hz εμπίπτει ακριβώς σε ένα τέτοιο διάστημα. Ένας τόνος στα 528,1 Hz θα καταγραφόταν στο πλησιέστερο διαστήμα, και η FFT θα φαινόταν εξίσου σίγουρη για το λάθος αποτέλεσμα.

Το χρήσιμο συμπέρασμα δεν είναι ότι μια μέθοδος υπερισχύει. Είναι ότι κάθε μέτρηση φέρει το αποτύπωμα του πλαισίου μέσα στο οποίο πραγματοποιήθηκε, και ένας αριθμός που αναφέρεται χωρίς να διευκρινίζεται η μέθοδος μέτρησης στερείται του μισού του εαυτού του. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι εκπομπές αυτού του καναλιού δημοσιεύουν, παράλληλα με τον αριθμό, και τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.

Δύο πράγματα που ακολουθούν

Μια συχνότητα που δεν μπορείτε να ακούσετε εξακολουθεί να αναπαράγεται. Αν γράψετε τις ίδιες τρεις γραμμές με το 1 αντί για το 528, το αρχείο δεν θα είναι σιωπηλό. Περιέχει ένα κύμα πλήρους πλάτους που ολοκληρώνει έναν κύκλο ανά δευτερόλεπτο. Η ανθρώπινη ακοή κυμαίνεται περίπου από τα 20 Hz έως τα 20 kHz, οπότε το 1 Hz δεν παράγει καθόλου ήχο. Τα «ακουστικά» και «δεν υπάρχει» είναι διαφορετικές δηλώσεις, και η διαφορά αυτή εξηγεί γιατί μπορεί να υπάρχει μια διαφορά μεταξύ των δύο αυτιών της τάξης των 4 Hz σε ένα αρχείο χωρίς να ακούτε ποτέ τα 4 Hz: υπάρχει ως διαφορά μεταξύ δύο ακουστικών τόνων, όχι ως τόνος από μόνος του.

Ο διπλασιασμός ακούγεται σαν ένα βήμα, όχι δύο. Τα 528 Hz και τα 1056 Hz απέχουν μία οκτάβα, ενώ από τα 1056 έως τα 2112 υπάρχει άλλη μία οκτάβα, παρόλο που το δεύτερο άλμα προσθέτει διπλάσια τιμή σε hertz. Η αντίληψη του τόνου είναι περίπου λογαριθμική, γι’ αυτό και τα μουσικά διαστήματα εκφράζονται ως αναλογίες και όχι ως διαφορές. Αυτός είναι επίσης ο λόγος για τον οποίο ένα φασματικό κέντρο στα 590 Hz και ένα στα 438 Hz απέχουν περισσότερο μεταξύ τους από ό,τι υποδηλώνει η απλή αφαίρεση.

Το σημείο που έχει σημασία όσον αφορά τους ισχυρισμούς σχετικά με τη συχνότητα

Το A440 αποτελεί το σημείο αναφοράς με βάση το οποίο μετράται κάθε ισχυρισμός του τύπου «συντονισμένο στα X Hz», και πρόκειται για μια συμφωνία και όχι για μια φυσική σταθερά. Μια διεθνής διάσκεψη στο Λονδίνο καθόρισε το 440 Hz το 1939. Πριν από αυτό, η Γαλλία είχε θεσπίσει νομοθετικά το 435 Hz το 1859, ενώ η συχνότητα αναφοράς των συναυλιών διέφερε ανά πόλη και ανά αιώνα. Σήμερα, στο Βερολίνο και τη Βιέννη παίζουν κοντά στα 443 Hz και στη Νέα Υόρκη κοντά στα 442 Hz, επειδή οι μουσικοί προτιμούν τον πιο λαμπερό ήχο.

Αυτό δεν αποδεικνύει τίποτα ως προς το αν μια συγκεκριμένη συχνότητα έχει κάποιο αποτέλεσμα. Ανατρέπει όμως μια άλλη πλευρά της ιστορίας: εκείνη που υποστηρίζει ότι μία συγκεκριμένη συντονισμένη συχνότητα ανήκει στη φύση, ενώ οι άλλες αποτελούν αποκλίσεις από αυτήν. Όλες αποτελούν συμφωνίες. Αυτό που απομένει να διαπιστωθεί είναι αν μια συγκεκριμένη συχνότητα έχει συγκεκριμένη επίδραση, κάτι που αποτελεί εμπειρικό ζήτημα, το οποίο απαντάται μελέτη προς μελέτη και απαντάται ειλικρινά σε άλλα άρθρα αυτού του περιοδικού.

Ο λόγος για τον οποίο μετράμε έναν τόνο με δύο τρόπους δεν είναι τα 0,12 Hz. Είναι το γεγονός ότι ένας αριθμός που δεν έχεις μετρήσει δεν είναι παρά μια ετικέτα, ενώ η μέτρηση εκτείνεται σε τρεις γραμμές.

Βιβλιογραφία

Το υλικό που παρουσιάζεται εδώ αφορά την επεξεργασία σήματος σε θεωρητικό επίπεδο και όχι κλινικά στοιχεία: τον ορισμό του «hertz» σύμφωνα με το SI, καθώς και την τυπική συμπεριφορά των διακριτών μετασχηματισμών Fourier και της εφαρμογής παραθύρων, που υλοποιούνται με το numpy. Ιστορικό των συχνοτήτων των συναυλιών: το γαλλικό diapason normal του 1859 (435 Hz) και το πρότυπο της διάσκεψης του Λονδίνου του 1939 (440 Hz).

Εκπαιδευτικό υλικό σχετικά με την επεξεργασία ηχητικών σημάτων. Δεν αποτελεί ιατρική συμβουλή.