Ίδια νότα, διαφορετικός ήχος: Η μέτρηση που έκανα λάθος στην αρχή

Αν παίξεις ένα ημιτονοειδές κύμα και ένα τετραγωνικό κύμα στην ίδια συχνότητα, κανείς δεν τα μπερδεύει. Το ένα είναι απαλό, το άλλο είναι τραχύ. Ωστόσο, αν ρωτήσεις ένα όργανο ποια νότα παίζει, θα σου δώσει την ίδια απάντηση και στις δύο περιπτώσεις.

Αυτό το κενό αποτελεί το κύριο θέμα. Με οδήγησε επίσης σε έναν αριθμό που, σύμφωνα με τη θεωρία, δεν θα έπρεπε να υπάρχει καθόλου — και η πρώτη μου μέτρηση αυτού του αριθμού ήταν λανθασμένη, κατά έναν τρόπο που αξίζει να επισημανθεί παρά να διορθωθεί διακριτικά.

Η νότα δεν είναι ο ήχος

Δημιουργήστε τρία σήματα στα 528 Hz σε Python — ένα ημιτονοειδές, ένα τετραγωνικό και ένα τριγωνικό — και εκτελέστε FFT σε κάθε ένα. Και τα τρία δείχνουν θεμελιώδη συχνότητα στα 528,00 Hz. Όσον αφορά τις νότες, είναι πανομοιότυπα.

Αυτό που διαφέρει είναι όλα όσα βρίσκονται πάνω από τη θεμελιώδη συχνότητα. Ένα επαναλαμβανόμενο κύμα μπορεί να αποδοθεί ως μια στοίβα απλών ημιτονοειδών κυμάτων σε ακέραια πολλαπλάσια της εν λόγω θεμελιώδους συχνότητας. Αυτά τα πολλαπλάσια είναι αρμονικές, και το ποια από αυτές υπάρχουν και σε ποιο επίπεδο είναι αυτό που το αυτί σας αντιλαμβάνεται ως χροιά.

Για ένα τετραγωνικό κύμα, ο κανόνας είναι παλιός και συγκεκριμένος: επιβιώνουν μόνο τα περιττά πολλαπλάσια, και το καθένα φέρει ένα κλάσμα του πλάτους της θεμελιώδους συχνότητας ίσο με το αντίστροφο του αριθμού του. Το ένα τρίτο του πλάτους στην τρίτη αρμονική. Το ένα πέμπτο στην πέμπτη.

Με βάση τα στοιχεία του δικού μου αρχείου:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Ο κανόνας ισχύει μέχρι το δεκαδικό ψηφίο. Αυτό είναι το εύκολο μέρος.

Ο αριθμός που θα έπρεπε να ήταν μηδέν

Ο ίδιος κανόνας ορίζει ότι οι ζυγές αρμονικές πρέπει να απουσιάζουν εντελώς. Όχι σε μικρό βαθμό. Να απουσιάζουν εντελώς.

Δεν απουσιάζουν. Η δεύτερη αρμονική βρίσκεται 75,9 dB κάτω από τη θεμελιώδη συχνότητα — περίπου ένα μέρος στα έξι χιλιάδες. Ελάχιστη, μη ακουστή, αλλά όχι μηδενική. Η θεωρία έλεγε μηδέν.

Ο προφανής ύποπτος είναι το όργανο μέτρησης. Δεν είναι όμως αυτό: αν εκτελέσουμε την ίδια μέτρηση σε καθαρό ημιτονοειδές σήμα, το ίδιο διαμέρισμα δείχνει 238 dB χαμηλότερα, κάτι που δεν είναι παρά ο αριθμητικός θόρυβος των ίδιων των αριθμών. Το όργανο μπορεί να ανιχνεύσει πολύ μικρότερα σήματα από αυτό.

Η πραγματική απάντηση είναι ότι το δειγματοληπτημένο τετραγωνικό κύμα δεν επαναλαμβάνεται καθόλου στα 528 Hz.

Υπολογίστε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη της συχνότητας και του ρυθμού δειγματοληψίας: gcd(528, 44100) = 12. Το μοτίβο των δειγμάτων επαναλαμβάνεται μόνο δώδεκα φορές το δευτερόλεπτο, οπότε αυτό που βλέπει ο μετασχηματισμός δεν είναι μια καθαρή αρμονική σειρά, αλλά ένα χτένι με μια γραμμή κάθε 12 Hz. Μερικές από αυτές τις γραμμές του χτενιού βρίσκονται κοντά στο σημείο όπου θα βρισκόταν μια αρμονική, και μία από αυτές είναι αυτή που εμφανίζεται στο ζυγό δοχείο.

Πού έκανα λάθος

Αυτό είναι το σημείο στο οποίο το βίντεο αφιερώνει πραγματικό χρόνο, καθώς είναι το σημείο που τα περισσότερα κανάλια θα έκοβαν.

Η πρώτη μέτρηση που έκανα για εκείνη την ομοιόμορφη αρμονική έδωσε −67,3 dB, και την κατέγραψα ως απάντηση.

Δεν ήταν αυτή η απάντηση. Είχα αναζητήσει την κορυφή μέσα σε ένα παράθυρο πλάτους περίπου ±14 Hz γύρω από την αναμενόμενη συχνότητα, θεωρώντας ότι μια μικρή ανοχή θα ήταν αποδεκτή. Όμως, οι γραμμές του «χτένι» απέχουν 12 Hz μεταξύ τους. Ένα παράθυρο τόσο ευρύ είναι βέβαιο ότι θα περιέχει μια γειτονική γραμμή χτένας, και αυτή η γραμμή ήταν πιο έντονη από την αρμονική που πραγματικά στόχευα. Η μέτρηση ανέφερε πιστά το πιο έντονο σήμα μέσα στο παράθυρο και εγώ το μπέρδεψα με αυτό για το οποίο ρώτησα.

Η σωστή τιμή, που μετρήθηκε ακριβώς σε εκείνο το σημείο και όχι στο πιο δυνατό σημείο κοντά του, είναι −75,9 dB. Οκτώ και μισό ντεσιμπέλ πιο αθόρυβο από ό,τι είχα αρχικά δημοσιεύσει στον εαυτό μου.

Το δίδαγμα που προκύπτει από αυτό το αρχείο είναι το εξής: το παράθυρο ανοχής δεν είναι απεριόριστο. Αν το διευρύνετε για λόγους ασφαλείας, αυξάνεται η πιθανότητα η μέτρηση να απαντήσει σε ένα διαφορετικό ερώτημα από αυτό που θέσατε. Αν πρέπει να κρατήσετε ένα πρακτικό συμπέρασμα από αυτό το άρθρο, ας είναι αυτό.

Όταν άνοιξα περισσότερο το παράθυρο, ανακάλυψα κάτι χειρότερο

Μόλις σταμάτησα να βασίζομαι στην περιορισμένη ερμηνεία και εξέτασα το σύνολο του φάσματος, εμφανίστηκε ένα μεγαλύτερο τεχνούργημα, το οποίο δεν έχει καμία σχέση με τις γραμμές χτένας.

Ένα τετραγωνικό κύμα έχει αρμονικές επ’ άπειρον. Ό,τι βρίσκεται πάνω από το μισό του ρυθμού δειγματοληψίας δεν μπορεί να αναπαρασταθεί και αναδιπλώνεται πίσω στο ακουστικό φάσμα. Σε μια υψηλότερη νότα μπορείτε να το ακούσετε χωρίς καμία ανάλυση: δημιουργήστε ένα τετραγωνικό κύμα στα 3000 Hz και θα ακούσετε έναν χαμηλό τόνο από κάτω που δεν υπάρχει στη νότα. Αυτή είναι η δέκατη πέμπτη αρμονική, στα 45 kHz, που αναδιπλώνεται πίσω στα 900 Hz — δύο οκτάβες κάτω από αυτό που παίζεται.

Στα 528 Hz, η πιο έντονη πτυχή βρίσκεται στα −33 dB. Αυτό είναι σαράντα ντεσιμπέλ πάνω από το φαινόμενο των ζυγών αρμονικών που προσπαθούσα να εντοπίσω. Αυτό που αποκαλούσα «φαινόμενο» δεν ήταν το σημαντικότερο.

Δύο δοκιμές επιβεβαιώνουν ότι πρόκειται για αναδίπλωση και όχι για κάτι άλλο:

Όταν διπλασιάζεται ο ρυθμός δειγματοληψίας, η ένταση των αρμονικών μειώνεται κατά έξι ντεσιμπέλ, κάθε φορά. −33, −39, −45, −51. Δεν είναι τυχαίο: η πρώτη αρμονική που δεν χωράει πλέον διπλασιάζει τον αριθμό της, και μια αρμονική με διπλάσια συχνότητα είναι κατά έξι ντεσιμπέλ πιο αδύναμη, σύμφωνα με τον ίδιο κανόνα «ένα προς n».

Δημιουργήστε το ίδιο σχήμα από ημιτόνια που χωράνε όλα — χωρίς άπειρες σειρές, χωρίς άκρη που να προκαλεί παραμόρφωση — και η στάθμη πέφτει στα 236 dB κάτω, επιστρέφοντας στον αριθμητικό θόρυβο.

Τρία πράγματα που το ηχόχρωμα δεν είναι

Δεν είναι η νότα. Και τα τρία σχήματα έχουν συχνότητα 528,00 Hz. Αν ρωτήσεις το όργανο τι παίζει, απαντά το ίδιο πράγμα τρεις φορές.

Όχι η ένταση. Όταν έχουν το ίδιο ύψος κορυφής, το τετραγωνικό κύμα μεταφέρει περίπου 3 dB περισσότερη ενέργεια από το ημιτονοειδές. Αυτό είναι αλήθεια, αλλά πρόκειται για διαφορά στον συντελεστή κορυφής — το πόσο πυκνά συμπυκνώνεται η ίδια ενέργεια γύρω από την κορυφή — και όχι για απόδειξη ότι οι αρμονικές αυξάνουν την ένταση. Αν αντιστοιχίσετε τα δύο κύματα με βάση την ενέργεια, η θεμελιώδης συχνότητα του τετραγωνικού κύματος βρίσκεται περίπου 1 dB κάτω από εκείνη του ημιτονοειδούς: ίδια ενέργεια, κατανεμημένη σε περισσότερα βήματα.

Δεν είναι θέμα ποιότητας. Κανένα σχήμα εδώ δεν είναι πλουσιότερο, πιο αγνό ή καλύτερο για εσάς. Αυτό που μετρήσαμε είναι η κατανομή της ενέργειας σε μια κλίμακα — έξι αριθμοί για το τετράγωνο, έξι διαφορετικοί αριθμοί για το τρίγωνο, η ίδια νότα και στα δύο. Αυτή είναι μια πλήρης περιγραφή ενός σταθερού τόνου, και αποτελεί το σύνολο των ισχυρισμών που υποστηρίζει η φυσική. Ένα πραγματικό όργανο αλλάζει επίσης ενώ παίζει, κάτι που αποτελεί ξεχωριστό ζήτημα.

Δοκιμάστε το και διαβάστε το ακριβές bin

Τέσσερις γραμμές. Δημιουργήστε ένα τετράγωνο σήμα στα 528 Hz με 44.100 δείγματα ανά δευτερόλεπτο, υπολογίστε τη μετασχηματισμένη του FFT και διαβάστε το επίπεδο στο τριπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας και, στη συνέχεια, στο διπλάσιο.

Διαβάστε την συγκεκριμένη κλίμακα, όχι το πιο δυνατό σήμα που βρίσκεται κοντά της, αλλιώς θα επαναλάβετε το λάθος μου. Θα πρέπει να βρείτε −9,5 dB στη μονή κλίμακα και περίπου 76 dB κάτω στη ζυγή κλίμακα.

Στη συνέχεια, αλλάξτε τη συχνότητα και εκτελέστε το ξανά. Το −9,5 δεν θα μετακινηθεί, σε κανένα σημείο από τα 100 Hz έως τα 1000 Hz, επειδή αποτελεί νόμο. Ο ζυγός αριθμός θα μετακινηθεί, και μπορείτε να προβλέψετε πού πριν εκτελέσετε το πρόγραμμα: πάρτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη της συχνότητάς σας και του 44.100, και αυτό είναι το διάστημα μεταξύ όλων των στοιχείων που προσθέτει το πλέγμα δειγματοληψίας.

Και οι δύο παραπάνω διορθώσεις περιλαμβάνονται στη δημοσιευμένη έκδοση του βίντεο. Η δημοσίευση του λανθασμένου αριθμού παράλληλα με τον σωστό δεν αποτελεί ένδειξη μετριοφροσύνης· είναι ο μόνος τρόπος ώστε μια δήλωση σχετικά με μια μέτρηση να μπορεί να ελεγχθεί από οποιονδήποτε άλλον εκτός από τον ίδιο τον δημιουργό της.

Βιβλιογραφία

Το υλικό που παρουσιάζεται εδώ αφορά τη θεωρητική επεξεργασία σήματος και όχι κλινικά στοιχεία: τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier και το πλέγμα των διαστημάτων του (numpy.fft), τη φασματική διαρροή και την ανάλυση παραθύρου, το όριο Nyquist και το φαινόμενο aliasing, καθώς και τη σειρά Fourier για ένα τετραγωνικό κύμα με τα πλάτη των περιττών αρμονικών του, που είναι ίσα με το ένα προς το n. Η υλοποίηση έγινε με το numpy. Το σενάριο μέτρησης και τα αποτελέσματά του εμφανίζονται στην οθόνη στο συνοδευτικό βίντεο.

Εκπαιδευτικό υλικό σχετικά με την επεξεργασία ηχητικών σημάτων. Δεν αποτελεί ιατρική συμβουλή.