Was ein Hertz eigentlich ist und warum zwei Zählungen voneinander abweichen

Frequenzwerte werden ständig verkauft, aber so gut wie nie gemessen. Bevor man darüber diskutiert, ob ein bestimmter Wert überhaupt eine Wirkung hat, sollte man sich zunächst einmal genau darüber im Klaren sein, was dieser Wert überhaupt ist, denn ein überraschend großer Teil der Verwirrung entsteht dadurch, dass „528 Hz“ eher als Bezeichnung denn als Messwert verwendet wird.

Ein Hertz entspricht einem Zyklus pro Sekunde. Das ist die gesamte Definition. Die SI-Einheit ist nach Heinrich Hertz benannt und bedeutet genau das: Ein Vorgang, der sich in jeder Sekunde genau so oft vollständig wiederholt. Ein Ton mit 528 Hz bedeutet, dass der Luftdruck in einer Sekunde 528 Mal ansteigt und wieder auf seinen Ausgangswert zurückfällt.

Ich baue eins, damit ich etwas zum Messen habe

Dafür braucht man keinen Synthesizer. Ein reiner Ton ist eine Sinuswelle, und eine Sinuswelle besteht aus drei Linien:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Das 2 * np.pi ist deshalb enthalten, weil ein vollständiger Sinuszyklus 2π Radiant beträgt. Durch die Multiplikation mit 528 passen 528 dieser Zyklen in jede Sekunde von t. Alles andere in der Audiosynthese baut auf diesem Grundprinzip auf.

Der erste Zählwert: Nulldurchgänge

Wenn eine Welle 528 Schwingungen pro Sekunde vollführt, durchläuft sie beim Aufwärtsgang 528 Mal pro Sekunde den Nullpunkt. Zählen Sie also einmal nach:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Über einen Zeitraum von vier Sekunden ergibt dies 527,88 Zyklen pro Sekunde, nicht 528.

Der zweite Punkt: die FFT

Der andere Ansatz liest das gesamte Signal auf einmal ein und ermittelt, aus welchen Frequenzen es besteht. Eine Fourier-Transformation zerlegt die Welle in ihre Bestandteile, und der stärkste davon ist die Antwort:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Das ergibt 528,00 Hz.

Warum sie unterschiedlicher Meinung sind

Zwei zuverlässige Methoden, dasselbe Signal, unterschiedliche Ergebnisse bei der letzten Ziffer. Man ist versucht, zu glauben, dass eine der beiden Methoden fehlerhaft ist. Das ist jedoch bei keiner der beiden der Fall.

Die Anzahl der Nulldurchgänge ist zu gering, da das viersekündige Fenster keine ganze Anzahl von Zyklen enthält. Bei 528 Hz umfassen vier Sekunden 2112 vollständige Zyklen und anschließend einen Teilzyklus. Da der Zähler ein Fragment nicht zählen kann, lässt er es weg, wodurch der Durchschnittswert etwas zu niedrig ausfällt. Dies gilt nicht nur für 528 Hz: Es tritt bei jeder Frequenz auf, deren Zykluslänge sich nicht gleichmäßig durch das Zeitfenster teilen lässt. Verlängert man das Zeitfenster, verringert sich der Fehler, da ein weggelassenes Fragment einen geringeren Anteil an einer größeren Gesamtzahl ausmacht.

Die FFT sieht hier exakt aus, und das sollte einen stutzig machen. Auch ihre Auflösung wird durch das Fenster bestimmt: Bei vier Sekunden Audio ergeben sich Frequenzbänder im Abstand von 0,25 Hz. 528 fällt genau in ein Band. Ein Ton mit 528,1 Hz würde in dem Bin angezeigt werden, der am nächsten liegt, und die FFT würde das falsche Ergebnis ebenso sicher anzeigen.

Die nützliche Erkenntnis ist nicht, dass eine Methode die andere übertrifft. Vielmehr ist es so, dass jede Messung die Form des Fensters trägt, in dem sie durchgeführt wurde, und dass eine Zahl, die ohne Angabe der Methode genannt wird, nur die Hälfte ihrer Aussagekraft besitzt. Aus diesem Grund wird in den Beiträgen auf diesem Kanal neben der Zahl auch veröffentlicht, wie diese ermittelt wurde.

Zwei Dinge, die sich daraus ergeben

Eine Frequenz, die man nicht hören kann, wird dennoch abgespielt. Schreibt man dieselben drei Zeilen mit 1 anstelle von 528, ist die Datei nicht still. Sie enthält eine Welle mit voller Amplitude, die einen Zyklus pro Sekunde durchläuft. Das menschliche Gehör reicht von etwa 20 Hz bis 20 kHz, daher erzeugt 1 Hz überhaupt keine Tonhöhe. „Unhörbar“ und „nicht vorhanden“ sind unterschiedliche Aussagen, und dieser Unterschied erklärt, warum in einer Datei eine binaurale Differenz von 4 Hz existieren kann, ohne dass man jemals 4 Hz hört: Sie existiert als Differenz zwischen zwei hörbaren Tönen, nicht als Ton an sich.

Eine Verdopplung klingt nach einem Schritt, nicht nach zwei. 528 Hz und 1056 Hz liegen eine Oktave auseinander, und von 1056 bis 2112 ist es eine weitere Oktave, auch wenn der zweite Sprung doppelt so viele Hertz ausmacht. Die Wahrnehmung der Tonhöhe verläuft in etwa logarithmisch, weshalb musikalische Intervalle eher Verhältnisse als Differenzen sind. Das ist auch der Grund, warum ein spektraler Schwerpunkt von 590 Hz und einer von 438 Hz weiter voneinander entfernt sind, als die reine Subtraktion vermuten lässt.

Der für Frequenzangaben relevante Teil

A440 ist der Referenzwert, an dem jede Angabe „auf X Hz gestimmt“ gemessen wird, und es handelt sich dabei eher um eine Vereinbarung als um eine Naturkonstante. Eine internationale Konferenz in London einigte sich 1939 auf 440 Hz. Zuvor hatte Frankreich bereits 1859 435 Hz gesetzlich festgelegt, und die Konzertstimmung schwankte je nach Stadt und Jahrhundert. Heute spielen Berlin und Wien bei etwa 443 und New York bei etwa 442, da die Musiker den helleren Klang bevorzugen.

Das sagt nichts darüber aus, ob eine bestimmte Frequenz eine Wirkung hat. Es widerlegt vielmehr eine andere Seite der Geschichte: jene, die besagt, dass eine bestimmte Stimmung der Natur entspricht und die anderen Abweichungen davon sind. Es handelt sich bei allen um Übereinstimmungen. Es bleibt die Frage, ob eine bestimmte Frequenz eine bestimmte Wirkung hat – eine empirische Frage, die Studie für Studie beantwortet wird und an anderer Stelle in dieser Zeitschrift ehrlich beantwortet wurde.

Der Sinn dahinter, einen Ton auf zwei Arten zu zählen, liegt nicht in den 0,12 Hz. Es geht vielmehr darum, dass eine Zahl, die man nicht gemessen hat, nur eine Bezeichnung ist, und dass die Messung drei Zeilen lang ist.

Literaturverzeichnis

Bei dem hier behandelten Stoff handelt es sich eher um grundlegende Signalverarbeitung als um klinische Erkenntnisse: die SI-Definition des Hertz sowie das Standardverhalten diskreter Fourier-Transformationen und der Fensterung, implementiert mit numpy. Geschichte der Konzertstimmung: der französische diapason normal von 1859 (435 Hz) und der Standard der Londoner Konferenz von 1939 (440 Hz).

Informationsinhalte zur Audiosignalverarbeitung. Keine medizinische Beratung.