Gleiche Note, anderer Klang: Die Messung, bei der ich mich zunächst geirrt habe

Spielt man eine Sinuswelle und eine Rechteckwelle mit derselben Frequenz ab, verwechselt niemand die beiden. Die eine klingt weich, die andere schrill. Fragt man jedoch ein Instrument, welche Note gerade erklingt, gibt es in beiden Fällen dieselbe Antwort.

Genau diese Lücke ist das eigentliche Thema. Sie führte mich auch zu einer Zahl, die der Theorie zufolge gar nicht hätte vorkommen dürfen – und meine erste Messung dieser Zahl war falsch, und zwar in einer Weise, die es wert ist, aufgezeigt zu werden, anstatt sie stillschweigend zu korrigieren.

Die Note ist nicht der Klang

Erstellen Sie in Python drei Signale mit einer Frequenz von 528 Hz – eine Sinus-, eine Rechteck- und eine Dreieckswelle – und führen Sie für jedes Signal eine FFT durch. Alle drei ergeben eine Grundfrequenz von 528,00 Hz. In Bezug auf die Tonhöhe sind sie identisch.

Der Unterschied liegt in allem, was über der Grundfrequenz liegt. Eine sich wiederholende Welle lässt sich als Überlagerung einfacher Sinuswellen darstellen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. Diese Vielfache sind Obertöne, und welche davon in welcher Stärke vorhanden sind, nimmt das Ohr als Klangfarbe wahr.

Bei einer Rechteckwelle gilt eine altbekannte und spezifische Regel: Es bleiben nur die ungeraden Oberwellen erhalten, und jede davon trägt einen Anteil der Amplitude der Grundschwingung, der dem Kehrwert ihrer eigenen Nummer entspricht. Ein Drittel der Amplitude bei der dritten Oberwelle. Ein Fünftel bei der fünften.

Gemessen anhand meiner eigenen Datei:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Die Regel gilt bis auf die Dezimalstelle genau. Das ist der einfache Teil.

Die Zahl, die eigentlich Null hätte sein sollen

Nach derselben Regel sollten die geraden Obertöne gänzlich fehlen. Nicht nur in geringem Maße. Sondern gar nicht.

Sie sind nicht abwesend. Die zweite Harmonische liegt 75,9 dB unterhalb der Grundfrequenz – etwa ein Sechstausendstel. Winzig, unhörbar und nicht gleich Null. Die Theorie sagte Null.

Der naheliegende Verdächtige ist das Messgerät. Das ist es jedoch nicht: Führt man dieselbe Messung an einer reinen Sinuswelle durch, zeigt derselbe Messbereich einen Wert von 238 dB weniger an, was nichts anderes ist als das arithmetische Rauschen der Zahlen selbst. Das Gerät kann weitaus kleinere Werte als diesen erfassen.

Die richtige Antwort lautet, dass sich die abgetastete Rechteckwelle keineswegs mit einer Frequenz von 528 Hz wiederholt.

Man berechnet den größten gemeinsamen Teiler aus der Frequenz und der Abtastrate: gcd(528, 44100) = 12. Das Abtastmuster wiederholt sich nur etwa zwölf Mal pro Sekunde, sodass die Transformation keine reine Obertonreihe erfasst, sondern einen Kamm mit einer Linie alle 12 Hz. Einige dieser Kammlinien liegen in der Nähe der Position, an der sich ein Oberton befinden würde, und eine davon taucht im geraden Bin auf.

Wo ich einen Fehler gemacht habe

Das ist der Teil, dem das Video besonders viel Zeit widmet, denn es ist der Teil, den die meisten Kanäle herausschneiden würden.

Meine erste Messung dieser geraden Harmonischen ergab −67,3 dB, und ich habe diesen Wert als Ergebnis notiert.

Das war nicht die Antwort. Ich hatte innerhalb eines Fensters mit einer Breite von etwa ±14 Hz um die erwartete Frequenz herum nach der Spitze gesucht, in der Annahme, dass eine kleine Toleranz ausreichen würde. Aber die Kammlinien liegen 12 Hz auseinander. Ein so breites Fenster enthält garantiert eine benachbarte Kammlinie, und diese Linie war lauter als die Oberschwingung, auf die ich eigentlich abzielte. Die Messung meldete pflichtbewusst das Lauteste im Fenster, und ich habe es fälschlicherweise für das gehalten, wonach ich gefragt hatte.

Der korrekte Wert, der genau an dieser Frequenzstelle gemessen wurde – und nicht am lautesten Signal in der Nähe –, beträgt −75,9 dB. Das sind achteinhalb Dezibel leiser als der Wert, den ich ursprünglich für mich selbst veröffentlicht hatte.

Die Erkenntnis aus diesem Artikel lässt sich über diese Datei hinaus verallgemeinern: Ein Toleranzfenster ist nicht beliebig. Wenn man es aus Sicherheitsgründen erweitert, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung eine andere Frage beantwortet als die, die man gestellt hat. Wenn Sie eine praktische Erkenntnis aus diesem Artikel mitnehmen, dann sollte es diese sein.

Als ich das Fenster vergrößerte, entdeckte ich etwas Schlimmeres

Als ich aufhörte, mich auf die eng gefasste Interpretation zu verlassen, und das gesamte Spektrum betrachtete, zeigte sich ein größeres Artefakt, das nichts mit Kammlinien zu tun hat.

Eine Rechteckwelle weist unendlich viele Oberwellen auf. Alles, was über der halben Abtastrate liegt, kann nicht dargestellt werden und wird in den hörbaren Bereich zurückgeführt. Bei einer höheren Tonhöhe kann man dies ganz ohne Analyse hören: Erzeugt man eine Rechteckwelle bei 3000 Hz, so ist darunter ein tiefer Ton zu hören, der nicht in der Tonhöhe enthalten ist. Das ist die fünfzehnte Oberwelle bei 45 kHz, die auf 900 Hz zurückgefaltet wird – zwei Oktaven unterhalb der gespielten Tonhöhe.

Bei 528 Hz liegt die lauteste Falte bei −33 dB. Das sind vierzig Dezibel mehr als das Artefakt mit geraden Obertönen, nach dem ich gesucht hatte. Das, was ich als Artefakt bezeichnet hatte, war gar nicht das größte.

Zwei Tests bestätigen, dass es sich um eine Faltung handelt und nicht um etwas anderes:

Verdoppelt man die Abtastrate, sinkt der Pegel der Obertöne jedes Mal um sechs Dezibel. −33, −39, −45, −51. Das ist kein Zufall: Die erste Oberschwingung, die nicht mehr passt, verdoppelt ihren Wert, und eine doppelt so hohe Oberschwingung ist nach derselben „Eins-über-n“-Regel um sechs Dezibel leiser.

Bildet man dieselbe Form aus Sinuswellen, die alle hineinpassen – keine unendlichen Reihen, kein Rand, an dem Aliasing auftreten könnte –, sinkt der Pegel auf 236 dB ab und liegt damit wieder im Bereich des arithmetischen Rauschens.

Drei Dinge, die Klangfarbe nicht ist

Nicht die Note. Alle drei Töne haben eine Frequenz von 528,00 Hz. Fragt man das Instrument, was gerade gespielt wird, gibt es dreimal dieselbe Antwort.

Nicht die Lautstärke. Bei gleicher Spitzenhöhe enthält die Rechteckwelle etwa 3 dB mehr Energie als die Sinuswelle. Das ist zwar richtig, aber es handelt sich dabei um einen Unterschied im Scheitelfaktor – also darum, wie dicht die gleiche Energie an der Spitze gepackt ist – und nicht um einen Beweis dafür, dass Obertöne die Lautstärke erhöhen. Gleicht man die beiden stattdessen hinsichtlich der Energie an, liegt die Grundfrequenz der Rechteckwelle etwa 1 dB unterhalb der des Sinus: gleiche Energie, verteilt auf mehr Stufen.

Es geht nicht um Qualität. Keine der beiden Formen ist hier reichhaltiger, reiner oder besser für Sie. Was wir gemessen haben, ist eine Energieverteilung über eine Tonleiter hinweg – sechs Zahlen für das Quadrat, sechs verschiedene Zahlen für das Dreieck, darunter jeweils dieselbe Note. Das ist eine vollständige Beschreibung eines gleichbleibenden Tons, und es ist die gesamte Aussage, die die Physik stützt. Ein echtes Instrument verändert sich zudem während des Spielens, was jedoch eine andere Frage ist.

Probieren Sie es aus und lesen Sie den genauen Bin-Wert ab

Vier Zeilen. Erzeuge ein Rechteck mit 528 Hz bei 44.100 Abtastwerten pro Sekunde, führe die FFT durch und lese den Pegel bei der dreifachen Grundfrequenz und anschließend bei der doppelten Grundfrequenz ab.

Achte auf den genauen Kanal, nicht auf das lauteste Signal in der Nähe, sonst machst du denselben Fehler wie ich. Beim ungeraden Kanal solltest du −9,5 dB und beim geraden Kanal etwa 76 dB weniger messen.

Ändern Sie dann die Frequenz und führen Sie den Test erneut durch. Der Wert −9,5 wird sich im Bereich von 100 Hz bis 1000 Hz nicht verschieben, da es sich um ein Gesetz handelt. Der gerade Wert wird sich verschieben, und Sie können vor der Ausführung vorhersagen, wohin: Nehmen Sie den größten gemeinsamen Teiler Ihrer Frequenz und 44.100 – das ist der Abstand, um den sich alles im Abtastraster verschiebt.

Beide oben genannten Korrekturen sind in der veröffentlichten Version des Videos enthalten. Die Veröffentlichung der falschen Zahl neben der richtigen ist keine Bescheidenheit; es ist die einzige Möglichkeit, wie eine Messangabe von jemand anderem als der Person, die sie gemacht hat, überprüft werden kann.

Literaturverzeichnis

Der hier behandelte Stoff befasst sich eher mit den Grundlagen der Signalverarbeitung als mit klinischen Erkenntnissen: die diskrete Fourier-Transformation und ihr Bin-Raster (numpy.fft), Spektralleckage und Fensterauflösung, die Nyquist-Grenze und Aliasing sowie die Fourier-Reihe für eine Rechteckwelle mit ihren „1/n“-Amplituden der ungeraden Harmonischen. Implementiert mit numpy; das Messskript und seine Ausgabe werden im Begleitvideo auf dem Bildschirm gezeigt.

Informationsinhalte zur Audiosignalverarbeitung. Keine medizinische Beratung.