Co je to vlastně Hertz a proč se názory dvou odborníků liší

Čísla frekvencí se neustále prodávají, ale téměř nikdy se neměří. Než se začneme dohadovat o tom, zda má konkrétní frekvence nějaký účinek, je dobré si nejprve ujasnit, co to číslo vlastně znamená, protože překvapivě velká část pozdějšího zmatku pramení z toho, že lidé používají „528 Hz“ spíše jako označení než jako veličinu.

Hertz je jeden cyklus za sekundu. To je celá definice. Jednotka soustavy SI je pojmenována po Heinrichu Hertzovi a znamená přesně to: jev, který se odehraje v plném rozsahu tolikrát za sekundu. Tón o frekvenci 528 Hz představuje vzestup a pokles atmosférického tlaku zpět na původní úroveň, a to 528krát za sekundu.

Stavím jeden, aby bylo co měřit

K tomu nepotřebujete syntezátor. Čistý tón je sinusová vlna a sinusová vlna se skládá ze tří čar:

import numpy as np

sr = 44100                                   # samples per second
t  = np.arange(int(4 * sr)) / sr             # four seconds of time stamps
y  = np.sin(2 * np.pi * 528 * t)             # 528 cycles per second

Výraz 2 * np.pi je zde proto, že jeden celý cyklus sinusové vlny má délku 2π radiánů. Vynásobením číslem 528 se do každé sekundy proměnné t vejde 528 takových cyklů. Všechno ostatní v oblasti syntézy zvuku vychází právě z tohoto principu.

První kritérium: průchody nulou

Pokud vlna absolvuje 528 cyklů za sekundu, překročí nulovou hodnotu při vzestupu 528krát za sekundu. Zkuste si to spočítat:

ups = np.sum((y[:-1] < 0) & (y[1:] >= 0))    # upward zero crossings
print(ups / 4)                               # per second

Za čtyři sekundy to dá výsledek 527,88 cyklů za sekundu, nikoli 528.

Druhý bod: FFT

Druhý přístup spočívá v tom, že se celý signál načte najednou a zjistí se, z jakých frekvencí se skládá. Fourierova transformace rozloží vlnu na jednotlivé složky a odpovědí je ta nejvýraznější z nich:

spec  = np.abs(np.fft.rfft(y))
freqs = np.fft.rfftfreq(len(y), 1 / sr)
print(freqs[np.argmax(spec)])                # 528.00

Výsledkem je 528,00 Hz.

Proč se neshodují

Dvě spolehlivé metody, stejný signál, odlišné výsledky v poslední číslici. Člověk by mohl podlehnout pokušení usoudit, že jedna z nich nefunguje. Ani jedna však nefunguje špatně.

Počet průchodů nulou je nižší, protože čtyřsekundové okno neobsahuje celé číslo cyklů. Při frekvenci 528 Hz se do čtyř sekund vejde 2112 úplných cyklů a ještě jeden úlomek. Čítač nedokáže tento fragment spočítat, a proto jej vynechá, čímž se průměrní hodnota mírně sníží. Tento jev není specifický pouze pro frekvenci 528 Hz: dochází k němu u jakékoli frekvence, jejíž délka cyklu se do daného časového okna nedá rovnoměrně rozdělit. Prodloužením časového okna se chyba zmenší, protože jeden vynechaný fragment představuje menší podíl z většího celkového počtu.

FFT zde vypadá přesně, a právě to by mělo vzbudit podezření. Její rozlišení je rovněž určeno oknem: čtyři sekundy zvukového záznamu odpovídají frekvenčním binům s rozestupem 0,25 Hz. Hodnota 528 se přesně vejde do jednoho binu. Tón o frekvenci 528,1 Hz by byl přiřazen k nejbližšímu frekvenčnímu pásmu a FFT by vypadala stejně přesvědčivě i v případě nesprávného výsledku.

Z toho plyne užitečný závěr, že nejde o to, že by jedna metoda byla lepší než druhá. Jde o to, že každé měření nese otisk okna, v němž bylo provedeno, a číslo uvedené bez specifikace použité metody je neúplné. Proto se v příspěvcích na tomto kanálu spolu s číslem uvádí i způsob, jakým bylo získáno.

Dvě věci, které z toho vyplývají

Frekvence, kterou neslyšíte, přesto zní. Napište tytéž tři řádky s hodnotou 1 místo 528 a soubor nebude tichý. Obsahuje vlnu s plnou amplitudou, která absolvuje jeden cyklus za sekundu. Lidský sluch pokrývá rozsah přibližně od 20 Hz do 20 kHz, takže 1 Hz nevytváří vůbec žádnou výšku tónu. „Neslyšitelný“ a „neexistující“ jsou odlišné pojmy a právě v tomto rozdílu spočívá důvod, proč může v souboru existovat binaurální rozdíl 4 Hz, aniž byste kdykoli slyšeli 4 Hz: existuje jako rozdíl mezi dvěma slyšitelnými tóny, nikoli jako tón samotný.

Zdvojnásobení zní jako jeden krok, ne jako dva. Frekvence 528 Hz a 1056 Hz jsou od sebe vzdáleny o jednu oktávu a interval mezi 1056 a 2112 Hz představuje další oktávu, i když druhý skok představuje dvojnásobný nárůst v hertzech. Vnímání výšky tónu je zhruba logaritmické, a proto jsou hudební intervaly spíše poměry než rozdíly. To je také důvod, proč jsou spektrální centroidy 590 Hz a 438 Hz od sebe dále, než by naznačoval prostý odčítací výpočet.

Část, která je rozhodující pro tvrzení o frekvenci

A440 je referenční hodnota, podle které se měří každé tvrzení o „naladění na X Hz“, a jedná se spíše o dohodu než o přírodní konstantu. Mezinárodní konference v Londýně se v roce 1939 dohodla na hodnotě 440 Hz. Předtím Francie v roce 1859 zákonem stanovila 435 Hz a koncertní ladění se lišilo podle města i století. Dnes se v Berlíně a Vídni hraje na frekvenci kolem 443 Hz a v New Yorku kolem 442 Hz, protože hudebníci preferují jasnější zvuk.

To však nic neříká o tom, zda má konkrétní frekvence nějaký účinek. Vyvrací to jinou polovinu tohoto tvrzení: tu, která tvrdí, že jedno ladění je přirozené a ostatní jsou od něj odchylky. Všechny jsou to dohody. Zbývá tedy otázka, zda konkrétní frekvence má konkrétní účinek, což je empirická otázka, na kterou odpovídají jednotlivé studie a na kterou je upřímně zodpovězeno i jinde v tomto časopise.

Smyslem toho, že se tón počítá dvěma způsoby, není ta hodnota 0,12 Hz. Jde o to, že číslo, které jste nezměřili, je pouhým označením, a měření trvá tři řádky.

Literatura

Tento materiál se zabývá spíše definicemi v oblasti zpracování signálů než klinickými důkazy: definicí jednotky hertz podle SI a standardním chováním diskrétních Fourierových transformací a okenních funkcí, implementovaných pomocí numpy. Historie koncertní ladění: francouzský diapason normal z roku 1859 (435 Hz) a standard z londýnské konference z roku 1939 (440 Hz).

Vzdělávací obsah týkající se zpracování zvukového signálu. Nejedná se o lékařskou radu.