Stejná nota, jiný zvuk: Míra, kterou jsem zpočátku špatně odhadl

Pusťte si sinusovou a obdélníkovou vlnu se stejnou frekvencí a nikdo je nezamění. Jedna zní jemně, druhá drsně. Pokud se však zeptáte hudebního nástroje, jaký tón právě hraje, v obou případech vám dá stejnou odpověď.

Právě tato mezera je jádrem celé záležitosti. Vedla mě také k jedné hodnotě, která by podle teorie vůbec neměla existovat – a moje první měření této hodnoty bylo chybné, a to způsobem, který stojí za to ukázat, než aby se to jen tak potichu opravilo.

Tón není zvuk

Vytvořte v jazyce Python tři signály o frekvenci 528 Hz – sinusový, obdélníkový a trojúhelníkový – a na každém z nich proveďte FFT. U všech tří se jako základní frekvence zobrazí 528,00 Hz. Z hlediska not jsou tyto signály identické.

Rozdíl spočívá ve všem, co leží nad základní frekvencí. Opakující se vlna lze zapsat jako součet jednoduchých sinusových vln, jejichž frekvence jsou celočíselnými násobky této základní frekvence. Tyto násobky jsou harmonické, a to, které z nich jsou přítomny a v jaké intenzitě, vnímá vaše ucho jako zabarvení tónu.

U obdélníkového signálu platí staré a konkrétní pravidlo: zachovají se pouze liché harmonické a každá z nich nese zlomek amplitudy základní frekvence, který se rovná jedné dělené jejím vlastním číslem. Třetina amplitudy u třetí harmonické. Pětina u páté.

Změřeno na mém vlastním souboru:

Harmonic	Predicted	Measured
3rd	−9.5 dB	−9.5 dB
5th	−14.0 dB	−14.0 dB
7th	−16.9 dB	−16.9 dB
9th	−19.1 dB	−19.1 dB

Toto pravidlo platí až na jedno desetinné místo. To je ta snadná část.

Číslo, které mělo být nula

Podle stejného pravidla by sudé harmonické měly zcela chybět. Ne jen v malém množství. Měly by chybět úplně.

Nejsou zcela nepřítomné. Druhá harmonická leží 75,9 dB pod základní frekvencí – což je přibližně jedna šestitisícina. Je nepatrná, neslyšitelná, ale není nulová. Teorie tvrdila, že je nulová.

Zřejmým podezřelým je měřicí přístroj. Není tomu tak: při provedení stejného měření na čistém sinusovém signálu vykazuje stejný bin hodnotu o 238 dB nižší, což není nic jiného než aritmetický šum samotných čísel. Přístroj dokáže zaznamenat i mnohem menší hodnoty než tuto.

Skutečná odpověď zní, že vzorkovaný obdélníkový signál se při frekvenci 528 Hz vůbec neopakuje.

Vypočítáme největší společný dělitel frekvence a vzorkovací frekvence: gcd(528, 44100) = 12. Vzor vzorků se opakuje pouze dvanáctkrát za sekundu, takže transformace nezachytí čistou harmonickou řadu, ale hřeben s čarou každých 12 Hz. Některé z těchto čar hřebenu se nacházejí poblíž místa, kde by byla harmonická, a jedna z nich se objeví v sudém binu.

V čem jsem se mýlil

Toto je část, které video věnuje nejvíce času, protože právě tuto část by většina kanálů vystřihla.

Moje první měření této sudé harmonické vykázalo hodnotu −67,3 dB a tuto hodnotu jsem zapsal jako výsledek.

To nebyla správná odpověď. Hledal jsem vrchol v okně o šířce přibližně ±14 Hz kolem očekávané frekvence, protože jsem předpokládal, že malá tolerance to vykompenzuje. Ale čáry hřebenu jsou od sebe vzdáleny 12 Hz. Tak široké okno zaručeně obsahuje sousední česlovou čáru, a ta byla hlasitější než harmonická, na kterou jsem se vlastně zaměřoval. Měření poctivě zaznamenalo nejhlasitější signál v okně a já jsem si ho spletl s tím, na co jsem se ptal.

Správná hodnota, naměřená přímo v daném frekvenčním pásmu, nikoli u nejhlasitějšího zdroje v jeho blízkosti, činí −75,9 dB. Je to o osm a půl decibelu tišší, než jsem původně uvedl.

Z tohoto článku vyplývá obecnější poučení: toleranční rozmezí není libovolné. Jeho rozšíření z důvodu jistoty zvyšuje pravděpodobnost, že měření bude odpovídat na jinou otázku, než na kterou jste se ptali. Pokud si z tohoto článku odnesete jednu praktickou radu, ať je to právě tato.

Když jsem zvětšil okno, objevil jsem něco ještě horšího

Jakmile jsem přestal věřit úzkému výkladu a podíval se na celé spektrum, objevil se větší artefakt, který nemá nic společného s hřebenovými čarami.

Obdélníkový signál obsahuje harmonické donekonečna. Vše, co leží nad polovinou vzorkovací frekvence, nelze zobrazit a signál se tak „ohýbá“ zpět do slyšitelného rozsahu. U vyšší tónové výšky to uslyšíte i bez jakékoli analýzy: vytvořte obdélníkovou vlnu o frekvenci 3000 Hz a pod ní uslyšíte nízký tón, který v dané notě není. Jedná se o patnáctou harmonickou o frekvenci 45 kHz, která se složila zpět na 900 Hz — o dvě oktávy níže než to, co se právě hraje.

Při frekvenci 528 Hz se nejhlasitější záhyb nachází na úrovni −33 dB. To je o čtyřicet decibelů více než artefakt s sudými harmonickými, který jsem hledal. To, co jsem nazýval artefaktem, tedy nebyl ten nejvýraznější.

Dva testy potvrzují, že se jedná o skládání a ne o něco jiného:

Zvýšíte-li vzorkovací frekvenci na dvojnásobek, úroveň harmonických se pokaždé sníží o šest decibelů. −33, −39, −45, −51. Není to náhoda: první harmonická, která se již nevejde do původního kmitočtového pásma, zdvojnásobí svou hodnotu, a harmonická s dvojnásobným kmitočtem je podle stejného pravidla „1/n“ o šest decibelů tišší.

Vytvořte stejný tvar ze sinusových vln, které se všechny vejdou — žádné nekonečné řady, žádné okraje, u nichž by mohlo docházet k aliasingu — a úroveň klesne o 236 dB, čímž se vrátí do oblasti aritmetického šumu.

Tři věci, kterými barva tónu není

Nejde o tu notu. Všechny tři tóny mají frekvenci 528,00 Hz. Zeptáte-li se nástroje, co právě hraje, odpoví vám třikrát totéž.

Nejde o hlasitost. Při stejné výšce špičky nese obdélníkový signál o přibližně 3 dB více energie než sinusový. To je pravda, ale jde o rozdíl v faktoru vrcholu – tedy o to, jak hustě je stejná energie soustředěna kolem špičky – nikoli o důkaz, že harmonické zvyšují hlasitost. Srovnáme-li však oba signály podle energie, vlastní základní frekvence obdélníkového signálu leží asi o 1 dB níže než u sinusového signálu: stejná energie, rozložená do více kroků.

Nejde o kvalitu. Žádný z těchto tvarů není bohatší, čistší ani pro vás lepší. To, co jsme změřili, je rozložení energie po stupnici — šest čísel pro čtverec, šest různých čísel pro trojúhelník, pod oběma stejná nota. To je úplný popis stabilního tónu a je to celé tvrzení, které fyzika podporuje. Skutečný nástroj se také mění během hry, což je samostatná otázka.

Vyzkoušejte to a přečtěte si přesný obsah bin

Čtyři řádky. Vytvořte obdélníkový signál o frekvenci 528 Hz při 44 100 vzorcích za sekundu, proveďte jeho FFT a přečtěte úroveň na trojnásobku základní frekvence a poté na dvojnásobku.

Sledujte přesně daný kanál, ne to, co je v jeho okolí nejhlasitější, jinak uděláte stejnou chybu jako já. U lichého kanálu byste měli naměřit −9,5 dB a u sudého kanálu přibližně o 76 dB méně.

Poté změňte frekvenci a spusťte to znovu. Hodnota −9,5 se nepohne, a to v rozmezí od 100 Hz do 1000 Hz, protože jde o zákonitost. Sudé číslo se posune a můžete předem odhadnout, kam přesně, ještě než program spustíte: vezměte největší společný dělitel vaší frekvence a čísla 44 100 – to je rozestup všeho, co vzorkovací mřížka přidává.

Obě výše uvedené opravy jsou obsaženy ve zveřejněné verzi videa. Zveřejnění nesprávného čísla vedle správného není projevem skromnosti; je to jediný způsob, jak může tvrzení o měření ověřit někdo jiný než ten, kdo jej vyslovil.

Literatura

Tento materiál se zabývá spíše teoretickými základy zpracování signálů než klinickými důkazy: diskrétní Fourierova transformace a její mřížka binů (numpy.fft), spektrální únik a rozlišení okna, Nyquistův limit a aliasing, a Fourierova řada pro obdélníkový signál s amplitudami lichých harmonických v poměru jedna ku n. Implementováno pomocí numpy; měřicí skript a jeho výstup jsou zobrazeny na obrazovce v doprovodném videu.

Vzdělávací obsah týkající se zpracování zvukového signálu. Nejedná se o lékařskou radu.